The Lang-Trotter conjecture on average for genus-$2$ curves with $S_3$ reduced automorphism group

Probleemstelling

Het artikel adresseert een uitbreiding van de beroemde Lang-Trotter-vermoeden (1976) naar hyperelliptische krommen van genus 2.

• Achtergrond: Voor elliptische krommen $E$ over $\mathbb{Q}$ zonder complexe vermenigvuldiging (CM) voorspelt het vermoeden dat het aantal priemgetallen $p < X$ waarvoor $E$ een supersinguliere reductie heeft, asymptotisch evenredig is met $c \sqrt{X} / \log X$. Hoewel dit voor individuele krommen een open vraag blijft, hebben Fouvry en Murty een gemiddelde schatting bewezen voor families van elliptische krommen (het "Lang-Trotter-vermoeden op gemiddelde").
• Het probleem: De auteurs willen dit resultaat generaliseren naar krommen van genus 2. Specifiek richten ze zich op de familie van genus-2 krommen $C_\lambda$ gedefinieerd door:
  $$C_\lambda : y^2 = x(x-1)(x-\lambda)\left(x - \frac{\lambda-1}{\lambda}\right)\left(x - \frac{1}{1-\lambda}\right)$$
  Deze krommen zijn gekenmerkt door het feit dat hun gereduceerde automorfismengroep de symmetrische groep $S_3$ bevat. De doelstelling is om de gemiddelde waarde te berekenen van het aantal priemgetallen $p < X$ waarvoor $C_\lambda$ een superspeciaal (superspecial) reductie heeft, voor $\lambda$ in $\mathbb{Q}$ of $\mathbb{Z}$.

Methodologie

De aanpak combineert algebraïsche meetkunde, getaltheorie en analytische methoden:

1. Reductie tot Elliptische Krommen:
   De auteurs maken gebruik van een criterium van Ibukiyama, Katsura en Oort. Een genus-2 kromme $C_\lambda$ is superspeciaal dan en slechts dan als twee geassocieerde elliptische krommen, $E_{\Lambda_-(\lambda)}$ en $E_{\Lambda_+(\lambda)}$, supersingulier zijn. De coëfficiënten van deze elliptische krommen hangen af van $\lambda$ en de wortel $\sqrt{\lambda^2 - \lambda + 1}$.

2. Isogenieën en Endomorfieme Ringen:
   Een cruciale stap in de analyse is het construeren van expliciete isogenieën van graad 3 tussen $E_{\Lambda_-(\lambda)}$ en $E_{\Lambda_+(\lambda)}$. Dit stelt de auteurs in staat om de endomorfieme ringen van deze elliptische krommen te bepalen.

   • Voor $p \equiv 1 \pmod 4$ bevatten de endomorfieme ringen de orde $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3p}}{2}]$.
   • Voor $p \equiv 11 \pmod{12}$ bevatten ze $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-p}}{2}]$.
   • Voor $p \equiv 7 \pmod{12}$ wordt bewezen dat er geen supersinguliere gevallen bestaan.

3. Hilbert Class Polynomen:
   De telling van de waarden $\lambda \in \mathbb{F}_p$ waarvoor de krommen supersingulier zijn, wordt gekoppeld aan de wortels van Hilbert class polynomen $P_D(X)$ (waarbij $D = -3p$ of $D = -p$). De auteurs analyseren de factorisatie van deze polynomen modulo $p$, met name voor $P_{3p}(X)$ wanneer $p \equiv 1 \pmod 4$. Ze gebruiken resultaten van Gross-Zagier en modulair polynomen om de multipliciteiten van de wortels te bepalen.

4. Analytische Schatting:
   Om de gemiddelde waarde over $\lambda$ te berekenen, gebruiken ze de methode van Fouvry en Murty. Dit omvat het omzetten van de som over $\lambda$ naar een som over priemgetallen $p$, waarbij het aantal superspeciaal $\lambda$'s ($\psi_p$) wordt uitgedrukt in termen van classaantallen $h(-p)$ en $h(-3p)$. Vervolgens wordt de Dirichlet-classaantalformule toegepast en worden sommen geschat met behulp van de Legendre-symbool-schattingen (Polya's ongelijkheid).

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Het artikel levert drie hoofdstellingen op:

Stelling A (Telling per priemgetal):
Voor een priemgetal $p \geq 5$, laat $\psi_p$ het aantal $\lambda \in \mathbb{F}_p$ zijn waarvoor $C_\lambda$ superspeciaal is. Dan geldt:

• Als $p \equiv 1 \pmod 4$: $\psi_p = \frac{3}{2} h(-3p)$.
• Als $p \equiv 7 \pmod{12}$: $\psi_p = 0$.
• Als $p \equiv 11 \pmod{12}$: $\psi_p = 3 h(-p)$.
  (Hierbij is $h(-D)$ het classaantal van de imaginaire kwadratische veld met discriminant $-D$.)

Stelling B (Gemiddelde over gehele getallen):
Voor de familie $C_\lambda$ met $\lambda \in \mathbb{Z}$ en $|\lambda| \leq N$ (waarbij $N > X^{1+\epsilon}$), is de gemiddelde waarde van het aantal superspeciaal reducties:
$$\frac{1}{N} \sum_{|\lambda| \leq N} \phi_\lambda(X) \sim \frac{(6 + 4\sqrt{3})\pi}{9} \frac{\sqrt{X}}{\log X}$$
Dit bevestigt dat de asymptotische gedraging vergelijkbaar is met het geval van elliptische krommen, maar met een specifieke constante die afhangt van de structuur van de $S_3$-symmetrie.

Stelling C (Gemiddelde over rationale getallen):
Voor de familie met $\lambda \in \mathbb{Q}$ en hoogte $ht(\lambda) \leq N$, geldt:
$$\frac{1}{N^2} \sum_{\lambda \in \mathbb{Q}, ht(\lambda) \leq N} \phi_\lambda(X) \sim \frac{4(3 + 2\sqrt{3})}{3\pi} \frac{\sqrt{X}}{\log X}$$

Significantie

1. Generalisatie van Lang-Trotter: Dit is een van de eerste werken dat het Lang-Trotter-vermoeden op gemiddelde succesvol uitbreidt naar krommen van genus 2, een significant complexer object dan elliptische krommen.
2. Rol van Automorfismengroepen: Het onderzoek illustreert hoe de specifieke symmetrie (in dit geval de aanwezigheid van $S_3$ in de gereduceerde automorfismengroep) de verdeling van supersinguliere reducties beïnvloedt. De constante in de asymptotische formule is direct afgeleid van de eigenschappen van deze symmetriegroep en de bijbehorende isogenieën.
3. Technische Doorbraken: De auteurs hebben nieuwe methoden ontwikkeld om de factorisatie van Hilbert class polynomen $P_{3p}(X)$ modulo $p$ te analyseren, een probleem dat eerder niet volledig was opgelost voor de specifieke gevallen die hier nodig waren.
4. Verband met Superspecialiteit: Het artikel verduidelijkt de relatie tussen superspecialiteit van genus-2 krommen en de supersingulariteit van paren elliptische krommen, en levert exacte formules voor het aantal zulke krommen over eindige velden.

Samenvattend biedt dit artikel een diepgaand inzicht in de statistische eigenschappen van supersinguliere reducties binnen specifieke families van hogere genus krommen, en legt het een brug tussen de theorie van elliptische krommen en de complexe wereld van genus-2 krommen.