Proof of a conjecture of Banerjee,Bringmann and Bachraoui on infinite families of congruences

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo "Proof of a conjecture of Banerjee, Bringmann and Bachraoui on infinite families of congruences" (Prueba de una conjetura de Banerjee, Bringmann y Bachraoui sobre familias infinitas de congruencias), escrito por Juejie Sun y Olivia X.M. Yao.

1. Planteamiento del Problema

El artículo se centra en la teoría de particiones de enteros, específicamente en particiones restringidas de dos colores (azul y rojo).

• Definición del objeto de estudio: Sea $c(k, n)$ el número de particiones de un entero $n$ en dos colores que satisfacen tres condiciones:
  1. La parte más pequeña es impar y aparece al menos una vez en azul.
  2. Cada parte azul par es al menos $2k-1$ mayor que la parte más pequeña.
  3. Las partes pares del mismo color son distintas.
• Límite asintótico: Los autores consideran la función generadora límite $C(q) = \lim_{k \to \infty} C_k(q) = \sum_{n=0}^{\infty} c(n)q^n$.
• Contexto histórico:
  • Andrews y Bachraoui [3] establecieron congruencias módulo 4 para casos específicos ($k=1,2,3$) y formularon dos conjeturas sobre la secuencia límite $c(n)$:
    • $c(8n+4) \equiv 0 \pmod 4$.
    • $c(8n+6) \equiv 0 \pmod 8$.
  • Recientemente, Banerjee, Bringmann y Bachraoui [4] probaron estas dos conjeturas y una tercera ($c(16n+13) \equiv 0 \pmod 4$) utilizando formas modulares y funciones theta mock.
  • El problema abierto: Al final de su trabajo, Banerjee, Bringmann y Bachraoui formularon una conjetura más general (Conjetura 1.5) que describe familias infinitas de congruencias para $c(n)$ módulo 4 y 8, dependiendo de parámetros $n$ y $k$. Esta conjetura general implica todas las anteriores.

2. Metodología

Los autores emplean un enfoque analítico basado en la teoría de series $q$ y funciones especiales:

1. Identidades de Funciones Generadoras:

   • Utilizan la representación de la función generadora $C(q)$ dada por Banerjee, Bringmann y Bachraoui, que involucra la función theta mock de tercer orden $\omega(q)$ y la función mock de segundo orden de McIntosh $B(q)$.
   • La relación fundamental es: $C(q) = 2q \frac{f_2 f_4}{f_1^2} B(-q) - q\omega(-q)$, donde $f_m = (q^m; q^m)_\infty$.

2. Uso de Identidades Clásicas:

   • Se basan en una identidad demostrada por Watson [12] que relaciona $f(q^8)$, $\omega(-q)$ y $\omega(-q^4)$.
   • Utilizan identidades de Ramanujan (del libro "Ramanujan's Notebooks", Entry 25) para manipular cocientes de productos infinitos $f_m$.

3. Técnicas de Extracción de Coeficientes:

   • El núcleo de la demostración consiste en realizar operaciones algebraicas sobre las series de potencias para extraer términos con exponentes específicos (por ejemplo, potencias de $q$ congruentes a $1 \pmod 2$, luego $0 \pmod 2$, etc.).
   • Se aplican sustituciones de variables ($q \to q^2$, $q \to -q$) y se dividen las series para aislar subsecuencias de coeficientes $c(n)$.

4. Lemas Auxiliares y Propiedades Modulares:

   • Se utilizan resultados previos de Mao [9] y Wang [11] sobre las propiedades de los coeficientes de la función $B(q)$ módulo 2.
   • Se aprovecha la propiedad de congruencia $f_k^{2m} \equiv f_{2k}^{2m-1} \pmod{2^m}$ para simplificar expresiones módulo 8.
   • Se establece una relación recursiva mediante inducción matemática para conectar $c(2^{2k+2}n + \dots)$ con términos base.

3. Contribuciones Clave y Resultados

El objetivo principal del artículo es probar la Conjetura 1.5 de Banerjee, Bringmann y Bachraoui. Los resultados se estructuran en dos lemas principales que conducen a la demostración final:

• Lema 2.1: Establece una relación de congruencia recursiva:
  $$c\left(\frac{2^{2k+2}n + 2^{2k+3} + 1}{3}\right) \equiv (-1)^k c(4n+3) \pmod 8$$
  Esta identidad permite reducir índices grandes a índices pequeños, conectando la estructura general con casos base conocidos.

• Lema 2.2: Demuestra congruencias específicas para ciertos residuos módulo 32 y 64:

  • $c(32n + 15) \equiv 0 \pmod 4$
  • $c(32n + 23) \equiv 0 \pmod 8$
  • $c(64n + 51) \equiv 0 \pmod 4$

• Prueba de la Conjetura 1.5:
  Combinando el Lema 2.1 con los resultados del Lema 2.2 y las conjeturas previas de Andrews y Bachraoui, los autores demuestran que para todos los enteros $n$ y $k \ge 0$:

  1. $c\left(\frac{2^{2k+3}n + 11 \cdot 4^k + 1}{3}\right) \equiv 0 \pmod 4$
  2. $c\left(\frac{2^{2k+3}n + 17 \cdot 4^k + 1}{3}\right) \equiv 0 \pmod 8$
  3. $c\left(\frac{2^{2k+4}n + 38 \cdot 4^k + 1}{3}\right) \equiv 0 \pmod 4$

  Al verificar los casos base ($k=0$ y $k=1$) y usar la inducción, se confirma que estas familias infinitas de congruencias son válidas.

4. Significado e Impacto

• Unificación de Resultados: La prueba de la Conjetura 1.5 unifica y generaliza resultados anteriores dispersos. Muestra que las congruencias observadas por Andrews y Bachraoui no son casos aislados, sino parte de una estructura infinita más profunda.
• Avance en la Teoría de Particiones: El trabajo demuestra la eficacia de combinar resultados de formas modulares mock con identidades clásicas de series $q$ (como las de Watson y Ramanujan) para resolver problemas de congruencias en particiones restringidas.
• Nuevas Direcciones: En la conclusión, los autores sugieren problemas futuros:
  • Extender estas congruencias a módulos más altos (16, 32, etc.).
  • Determinar la densidad aritmética del conjunto de enteros $n$ tales que $c(n) \equiv 0 \pmod{2^k}$ para $k$ fijo.

En resumen, el artículo cierra una pregunta abierta reciente en la teoría de particiones, proporcionando una demostración rigurosa de familias infinitas de congruencias mediante un análisis sofisticado de funciones generadoras y propiedades modulares.