Proof of a conjecture of Banerjee,Bringmann and Bachraoui on infinite families of congruences

1. Contexte et Problématique

Le papier traite de la théorie des partitions d'entiers, plus spécifiquement des partitions à deux couleurs (bleue et rouge). Les auteurs étudient une séquence spécifique de partitions notée $c(k, n)$, définie par Andrews et Bachraoui, où :

1. La plus petite partie est impaire et apparaît au moins une fois en bleu.
2. Chaque partie paire bleue est d'au moins $2k-1$ supérieure à la plus petite partie.
3. Les parties paires de la même couleur sont distinctes.

Les auteurs considèrent la limite de la fonction génératrice $C_k(q)$ lorsque $k \to \infty$, notée $C(q) = \sum_{n=0}^{\infty} c(n)q^n$.

Le problème central réside dans la confirmation de conjectures concernant les congruences modulo 4 et 8 des coefficients $c(n)$.

• Andrews et Bachraoui avaient conjecturé des congruences pour $c(8n+4)$ et $c(8n+6)$.
• Banerjee, Bringmann et Bachraoui (BBB) ont confirmé ces conjectures et ont ajouté une nouvelle congruence pour $c(16n+13)$.
• À la fin de leur travail, BBB ont émis une conjecture majeure (Conjecture 1.5) concernant des familles infinies de congruences pour des indices de la forme $2^{2k+3}n + \dots$, qui englobent les résultats précédents.

L'objectif de Sun et Yao est de prouver la Conjecture 1.5 de BBB, démontrant ainsi l'ensemble des congruences précédemment conjecturées.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une combinaison d'outils avancés de la théorie des $q$-séries et des fonctions modulaires :

1. Fonctions génératrices et Fonctions Mock Theta :
   Les auteurs utilisent la relation établie par BBB reliant la fonction génératrice $C(q)$ à des formes modulaires et des fonctions mock theta d'ordre 3 et 2. Plus précisément, ils utilisent l'identité :
   $$C(q) = 2q \frac{f_2 f_4}{f_1^2} B(-q) - q\omega(-q)$$
   où $\omega(q)$ est une fonction mock theta d'ordre 3 et $B(q)$ est une fonction mock theta d'ordre 2 de McIntosh.

2. Identités de Watson et Ramanujan :
   L'élément clé de la démonstration est l'utilisation d'une identité due à G.N. Watson (liant $f(q^8)$, $\omega(-q)$ et $\omega(-q^4)$) et de diverses identités de Ramanujan (issues de son Notebook, entrée 25) pour manipuler les produits infinis $f_m = (q^m; q^m)_\infty$.

3. Extraction de termes et Réduction Modulaire :
   La stratégie technique consiste à :

   • Développer les fonctions génératrices en séries de puissances de $q$.
   • Extraire sélectivement les termes dont l'exposant de $q$ est congru à une valeur spécifique modulo 2 (ou 4).
   • Appliquer des substitutions de variables (ex: remplacer $q^2$ par $q$).
   • Utiliser des congruences modulo 8 et 4 sur les coefficients des séries, en exploitant des propriétés de divisibilité des produits infinis (ex: $f_{2m}^k \equiv f_{2k}^{2m-1} \pmod{2^m}$).

4. Récurrence et Induction :
   Les auteurs établissent des relations de récurrence entre les coefficients $c(n)$ à différents indices (par exemple, reliant $c(16n+11)$ à $c(4n+3)$). Ces relations permettent d'utiliser l'induction mathématique pour généraliser les résultats à des familles infinies d'indices dépendant de $k$.

3. Résultats Clés

Les auteurs démontrent rigoureusement la Conjecture 1.5 de Banerjee, Bringmann et Bachraoui. Les résultats principaux sont les congruences suivantes, valables pour tous les entiers $n \ge 0$ et $k \ge 0$ :

1. Première famille (Modulo 4) :
   $$c\left(\frac{2^{2k+3}n + 11 \cdot 4^k + 1}{3}\right) \equiv 0 \pmod 4$$
   (Pour $k=0$, cela redonne $c(8n+4) \equiv 0 \pmod 4$).

2. Deuxième famille (Modulo 8) :
   $$c\left(\frac{2^{2k+3}n + 17 \cdot 4^k + 1}{3}\right) \equiv 0 \pmod 8$$
   (Pour $k=0$, cela redonne $c(8n+6) \equiv 0 \pmod 8$ ; pour $k=1$, cela donne $c(32n+23) \equiv 0 \pmod 8$).

3. Troisième famille (Modulo 4) :
   $$c\left(\frac{2^{2k+4}n + 38 \cdot 4^k + 1}{3}\right) \equiv 0 \pmod 4$$
   (Pour $k=0$, cela redonne $c(16n+13) \equiv 0 \pmod 4$).

Lemmes intermédiaires :
Pour parvenir à ces résultats, les auteurs prouvent deux lemmes cruciaux :

• Un lien de récurrence général : $c(2^{2k+2}n + \dots) \equiv (-1)^k c(4n+3) \pmod 8$.
• Des congruences spécifiques pour des indices de la forme $32n+15$, $32n+23$ et $64n+51$.

4. Contributions et Signification

• Résolution d'une conjecture ouverte : Ce papier clôture la question ouverte posée par Banerjee, Bringmann et Bachraoui, confirmant l'existence de familles infinies de congruences pour ce type de partitions.
• Unification des résultats : La Conjecture 1.5 prouvée englobe et généralise les conjectures antérieures d'Andrews et Bachraoui, ainsi que les résultats partiels de BBB. Elle montre que les motifs de congruence observés pour de petits indices se poursuivent indéfiniment selon une structure arithmétique précise.
• Méthodologie efficace : L'article démontre la puissance de la combinaison des fonctions mock theta et des identités classiques de Ramanujan/Watson pour résoudre des problèmes de congruences complexes sans avoir besoin de calculer explicitement les coefficients pour chaque $n$.
• Perspectives futures : Les auteurs suggèrent dans leur conclusion que la prochaine étape naturelle serait d'étendre ces congruences à des modules plus élevés (16, 32, etc.) et d'étudier la densité arithmétique des entiers $n$ pour lesquels $c(n) \equiv 0 \pmod{2^k}$.

En résumé, ce travail fournit une preuve complète et élégante d'une structure profonde dans la théorie des partitions à deux couleurs, reliant l'analyse combinatoire à la théorie des formes modulaires.