A gap principle for polynomial volume growth of zero-entropy automorphisms

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el estudio de la dinámica de automorfismos de entropía cero en variedades proyectivas normales $X$ de dimensión $d \geq 4$ sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica arbitraria.

• Contexto: Para un automorfismo $f$, se estudia la tasa de crecimiento de sus grados dinámicos $\deg_i(f^n)$. Si la entropía es cero, el primer grado dinámico $\lambda_1(f) = 1$, y el crecimiento del primer grado es polinomial: $\deg_1(f^n) \sim n^k$ para algún entero par $k \geq 0$.
• Invariante Clave: El foco principal es el crecimiento de volumen polinomial ($plov(f)$), definido como la tasa de crecimiento del volumen de la gráfica iterada $\Gamma_n$ de $f$. Este invariante está estrechamente relacionado con la dimensión de Gelfand-Kirillov de ciertos anillos no conmutativos asociados a $f$.
• El Problema: Se sabe que $plov(f)$ está acotado superiormente por $d^2$ (cuando $k$ es máximo, $k=2d-2$) y por $(k/2 + 1)d$ en general. Sin embargo, no se conocía la estructura de los valores posibles de $plov(f)$ cuando el crecimiento del grado no es máximo. Los autores buscan determinar si existe un "principio de brecha" (gap principle), es decir, si existen intervalos de valores que $plov(f)$ no puede tomar.

2. Metodología

Los autores combinan técnicas de geometría algebraica, teoría de intersección y álgebra lineal combinatoria.

A. Interpretación Geométrica y Nuevos Números de Intersección

• Utilizan la interpretación de que la acción de $f^*$ en el espacio de Néron-Severi real es unipotente ($f^* = \exp(L)$, donde $L$ es nilpotente).
• Introducen una nueva interpretación de los números de intersección utilizando el operador "log-monodromía formal" $L = \log(f^*)$. Esto permite definir números de intersección $w_\lambda$ asociados a particiones restringidas $\lambda$ que satisfacen sistemas de ecuaciones lineales homogéneas genuinas para todo $n$, superando las limitaciones de trabajos previos que solo funcionaban para $n$ grandes.

B. Matrices de Incidencia Ponderada y Particiones Restringidas

• Definen matrices de incidencia ponderada $A_{k,d,n}$ asociadas al conjunto de particiones restringidas $\mathcal{P}(k, d, n)$ (particiones de $n$ en a lo más $d$ partes, cada una $\leq k$).
• Establecen una correspondencia biunívoca entre el núcleo (nullspace) de estas matrices y el espacio de polinomios simétricos homogéneos invariantes bajo traslación.
• Utilizan la estructura de matrices truncadas $A^{\leq \kappa}_{k,d,n}$, donde $\kappa$ es una partición distinguida que surge de propiedades de anulación geométrica. Esto reduce el problema de demostrar que ciertos números de intersección son cero a demostrar que ciertas matrices truncadas tienen núcleo trivial.

C. Análisis de Rango y Nulidad

• Demuestran que las matrices $A_{k,d,n}$ tienen rango completo en ciertos rangos.
• Para el caso de crecimiento máximo ($k=2d-2$), analizan el núcleo de una matriz truncada específica. Demuestran que su núcleo es unidimensional y está generado por los coeficientes del cuadrado del determinante de Vandermonde expresado en funciones simétricas monomiales normalizadas.
• Para el caso no máximo ($k \leq 2d-4$), utilizan inducción sobre la dimensión y parámetros de partición para demostrar que el núcleo de las matrices truncadas es trivial bajo ciertas condiciones de $n$.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

El resultado central es la establecida de un Principio de Brecha para el crecimiento de volumen polinomial.

Teorema Principal (Teorema 1.1 y 1.2)

Para una variedad de dimensión $d \geq 4$ y un automorfismo de entropía cero con crecimiento de grado $k$:

1. Caso de Crecimiento Máximo ($k = 2d - 2$):

   • Se prueba que $plov(f) = d^2$.
   • Esto confirma que el límite superior óptimo general se alcanza exactamente cuando el crecimiento del grado es máximo.

2. Caso de Crecimiento No Máximo ($k \leq 2d - 4$):

   • Se mejora la cota superior anterior de $d(d-1)$ a una cota más estricta:
     $$plov(f) \leq d(d-2) + 2\lfloor d/4 \rfloor$$
   • Dependiendo de $d \pmod 4$, la cota es $d(d-2) + \lfloor d/2 \rfloor$ o $d(d-2) + \lfloor d/2 \rfloor - 1$.

El Principio de Brecha (Corolario 1.3)

Como consecuencia directa, para cualquier dimensión fija $d \geq 4$, el valor de $plov(f)$ no puede tomar ningún valor en el intervalo abierto:
$$\left( d(d-2) + 2\lfloor d/4 \rfloor, \, d^2 \right)$$
Esto revela un fenómeno de rigidez: los valores de crecimiento de volumen polinomial están "saltando" sobre un intervalo significativo, en lugar de ser densos o continuos.

Clasificación en Dimensión 4 (Corolario 1.7)

Los autores determinan completamente todos los valores posibles de $plov(f)$ para $d=4$:

• Si $k=0$: $plov = 4$.
• Si $k=2$: $plov \in \{6, 8\}$.
• Si $k=4$: $plov = 10$.
• Si $k=6$ (máximo): $plov = 16$.
  Todos estos valores son realizables por variedades abelianas de dimensión 4.

4. Significado e Impacto

1. Rigidez Dinámica: El trabajo revela una nueva forma de rigidez en la dinámica algebraica. A diferencia de la entropía topológica, que puede tomar un espectro continuo de valores, el crecimiento de volumen polinomial para automorfismos de entropía cero está altamente restringido y presenta "huecos" significativos.
2. Conexión con Geometría No Conmutativa: Dado que $plov(f)$ coincide con la dimensión de Gelfand-Kirillov de anillos de coordenadas homogéneos torcidos (menos uno), este resultado establece un principio de brecha para estas dimensiones en el contexto de la geometría no conmutativa, extendiendo resultados clásicos de Artin-Van den Bergh (superficies) y Lin-Oguiso-Zhang (variedades tridimensionales).
3. Herramientas Combinatorias: La introducción de matrices truncadas asociadas a particiones restringidas y su análisis mediante funciones simétricas (determinante de Vandermonde) proporciona una nueva herramienta poderosa para estudiar problemas de anulación de intersecciones en geometría algebraica.
4. Conjeturas Futuras: El artículo propone dos conjeturas adicionales:
   • Segundo Principio de Brecha: Sugiere que la brecha se extiende hasta $(d-1)^2 + 1$.
   • Cota Inferior: Propone una cota inferior explícita para $plov(f)$ basada en $d$ y $k$.

En resumen, este artículo cierra la brecha de conocimiento sobre los valores posibles del crecimiento de volumen polinomial en dimensiones altas, demostrando que no es un espectro continuo sino un conjunto discreto con grandes intervalos prohibidos, lo cual tiene profundas implicaciones para la clasificación de automorfismos de entropía cero.