A gap principle for polynomial volume growth of zero-entropy automorphisms

1. Problema e Contexto

O artigo investiga o comportamento dinâmico de automorfismos de entropia zero em variedades projetivas normais $X$ de dimensão $d \ge 4$ sobre um corpo algebricamente fechado de característica arbitrária.

• Entropia Zero: Um automorfismo $f$ tem entropia zero se o seu primeiro grau dinâmico $\lambda_1(f) = 1$. Isso implica que todos os graus dinâmicos $\lambda_i(f)$ são iguais a 1.
• Crescimento de Grau: Para tais automorfismos, a sequência de graus $\deg_1(f^n)$ cresce polinomialmente como $n^k$, onde $k$ é um inteiro par não negativo. Sabe-se que $k \le 2d - 2$.
• Crescimento de Volume Polinomial (plov): O foco principal é o invariante $\text{plov}(f)$, definido como a taxa de crescimento polinomial do volume do gráfico de iteração $\Gamma_n$ de $f$. Formalmente:
  $$\text{plov}(f) := \limsup_{n \to \infty} \frac{\log \text{Vol}(\Gamma_n)}{\log n}$$
  Este invariante está intimamente ligado à dimensão de Gelfand–Kirillov de anéis de coordenadas homogêneos torcidos associados a $f$.

O Problema Central: Determinar os valores possíveis de $\text{plov}(f)$ em função da dimensão $d$ e do grau de crescimento $k$. Trabalhos anteriores estabeleceram limites superiores gerais, mas a estrutura exata dos valores possíveis, especialmente a existência de "lacunas" (valores que o invariante não pode assumir), permanecia em aberto para dimensões superiores.

2. Metodologia

Os autores desenvolvem uma abordagem que combina geometria algébrica, teoria de interseção e álgebra linear combinatória.

A. Redução a Números de Interseção

Utilizando a interpretação de que a ação de $f^*$ no espaço de Néron–Severi é da forma $\text{id} + N$ (onde $N$ é nilpotente), os autores definem um operador "log-monodromia" formal $L = \log(f^*)$. O volume $\text{Vol}(\Gamma_n)$ é expresso como um polinômio em $n$, cujos coeficientes dependem de números de interseção da forma:
$$w_\lambda = (L^{\lambda_1}H_X) \cdot (L^{\lambda_2}H_X) \cdots (L^{\lambda_d}H_X)$$
onde $\lambda = (\lambda_1, \dots, \lambda_d)$ é uma partição restrita.

B. Matrizes de Incidência Ponderadas

Os autores introduzem um sistema de equações lineares homogêneas para os números $w_\lambda$. Eles definem matrizes de incidência ponderadas $A_{k,d,n}$ associadas a partições restritas. A chave da metodologia é provar que a anulação (ou não anulação) desses números de interseção depende da nulidade (dimensão do núcleo) dessas matrizes e de suas versões truncadas.

C. Truncamento e Partições Distinguidas

Um conceito crucial é o truncamento das matrizes em relação a uma "partição distinguida" $\kappa$.

• Propriedade de Anulação Geométrica: Números de interseção $w_\lambda$ onde a partição $\lambda$ é lexicograficamente maior que uma certa $\kappa$ são zero.
• Isso permite reduzir o estudo do sistema linear a submatrizes truncadas $A^{\le \kappa}_{k,d,n}$.

D. Análise Combinatória e Polinômios Simétricos

Para determinar a nulidade das matrizes truncadas, os autores utilizam uma correspondência entre o núcleo dessas matrizes e o espaço de polinômios simétricos homogêneos invariantes por translação.

• Eles mostram que o núcleo de certas matrizes é gerado pelos coeficientes do quadrado do determinante de Vandermonde (ou generalizações dele) expandido em funções simétricas monomiais normalizadas.
• A prova envolve indução sobre a dimensão $d$ e a análise da estrutura em blocos das matrizes $A_{k,d,n}$.

3. Contribuições e Resultados Principais

O artigo estabelece um Princípio de Lacuna rigoroso para o valor de $\text{plov}(f)$.

Teorema Principal (Teorema 1.1 e 1.2)

Para uma variedade de dimensão $d \ge 4$:

1. Caso de Crescimento Máximo ($k = 2d - 2$):
   Se o grau de crescimento é máximo, então o crescimento de volume é exatamente o limite superior conhecido:
   $$\text{plov}(f) = d^2$$
   Isso confirma que o limite superior $d^2$ é atingido e é o único valor possível nessa configuração.

2. Caso de Crescimento Não Máximo ($k \le 2d - 4$):
   Se o crescimento de grau não é máximo, o valor de $\text{plov}(f)$ é estritamente limitado por cima por um valor menor que $d^2$:
   $$\text{plov}(f) \le d(d-2) + 2\lfloor d/4 \rfloor$$
   (Nota: O valor exato depende da paridade de $d \pmod 4$, conforme detalhado no Teorema 1.2).

O Princípio de Lacuna (Corolário 1.3)

A combinação dos resultados acima revela que existe uma lacuna (intervalo aberto) onde $\text{plov}(f)$ não pode assumir nenhum valor. Para $d \ge 4$:
$$\text{plov}(f) \notin \left( d(d-2) + 2\lfloor d/4 \rfloor, \, d^2 \right)$$
Isso demonstra uma rigidez no comportamento dinâmico: o invariante não varia continuamente, mas "salta" de um limite inferior para o máximo, sem ocupar os valores intermediários.

Classificação em Dimensão 4 (Corolário 1.7)

Os autores determinam completamente todos os valores possíveis de $\text{plov}(f)$ para variedades de dimensão 4, estendendo resultados anteriores para superfícies (Artin–Van den Bergh) e trêsfolds (Lin–Oguiso–Zhang):

• Se $k=0$: $\text{plov} = 4$.
• Se $k=2$: $\text{plov} \in \{6, 8\}$.
• Se $k=4$: $\text{plov} = 10$.
• Se $k=6$ (máximo): $\text{plov} = 16$.
  Todos esses valores são realizáveis por variedades abelianas de dimensão 4.

4. Significado e Impacto

• Rigidez Dinâmica: O trabalho revela um fenômeno de rigidez inesperado. Diferente de sistemas onde os invariantes podem assumir um espectro contínuo de valores, aqui existe uma proibição estrita de certos valores intermediários para o crescimento de volume.
• Conexão com Álgebra Não-Comutativa: Como $\text{plov}(f)$ é equivalente à dimensão de Gelfand–Kirillov de anéis de coordenadas homogêneos torcidos, este princípio de lacuna fornece novos resultados sobre a estrutura de dimensão de álgebras não-comutativas associadas a automorfismos de entropia zero.
• Generalidade: Os resultados são válidos para qualquer característica do corpo base, superando limitações de trabalhos anteriores que muitas vezes dependiam da característica zero ou de complexidade analítica.
• Novas Conjecturas: O artigo propõe um "Segundo Princípio de Lacuna" (Conjectura 1.8), sugerindo que a lacuna pode ser ainda maior, excluindo o intervalo $( (d-1)^2 + 1, d^2 )$, e uma conjectura de limite inferior (Conjectura 1.9).

Em resumo, Hu e Jiang fornecem uma caracterização precisa e completa da relação entre o crescimento de grau e o crescimento de volume para automorfismos de entropia zero, estabelecendo que a "física" desses sistemas dinâmicos algébricos é muito mais restritiva do que se imaginava anteriormente.