A Graph Theoretic Approach in Combination With Dynamic Mode Decomposition With Control (DMDc) to Analyze Battery Degradation

Resumen Técnico: Un Enfoque Teórico de Grafos Combinado con Descomposición Modal Dinámica con Control (DMDc) para Analizar la Degradación de Baterías

Enunciado del Problema
La monitorización precisa de la degradación de las baterías de iones de litio (LIB) es crítica para la seguridad y el rendimiento, pero sigue siendo un desafío debido a la naturaleza compleja, no lineal y variable en el tiempo del envejecimiento electroquímico. Los modelos tradicionales basados en física ofrecen alta fidelidad, pero son intensivos computacionalmente y difíciles de calibrar para su uso en tiempo real. Por el contrario, los enfoques basados en datos, como los Modelos de Circuito Equivalente (ECM), son eficientes pero dependen de topologías fijas que no logran capturar los mecanismos internos de degradación evolutivos y los cambios estructurales. Si bien los métodos de aprendizaje automático han mejorado la estimación del estado de salud (SOH), existe una falta de marcos que utilicen enfoques teóricos de grafos para comprender fundamentalmente la evolución estructural de la degradación de la batería a partir de datos operativos únicamente.

Metodología
Los autores proponen un marco basado en datos que integra la Descomposición Modal Dinámica con Control (DMDc) y la teoría de grafos para caracterizar la degradación de la batería. La metodología procede de la siguiente manera:

1. Adquisición de Datos: Una LIB de 30 Ah se somete a pruebas de Caracterización de Potencia de Pulso Híbrido (HPPC). La celda experimenta ciclos continuos de carga-descarga hasta 360 ciclos, con pruebas HPPC repetidas cada 20 ciclos para capturar las respuestas de voltaje bajo entradas de corriente controladas.
2. Identificación del Sistema DMDc: Se aplica el algoritmo DMDc a los datos operativos para identificar una representación lineal del espacio de estados ($x_{k+1} \approx A x_k + B u_k$). A través de la Descomposición en Valores Singulares (SVD) y la descomposición espectral, el método extrae una matriz de modos ($\Phi$). Esta matriz codifica las relaciones de amplitud y fase entre los modos dinámicos, representando la evolución espacio-temporal del sistema.
3. Construcción del Grafo: La matriz de modos $\Phi$ se reinterpreta como una matriz de adyacencia ponderada para un grafo $G(V, E)$. En esta representación, los nodos corresponden a coordenadas de estado incrustadas con retraso (inferidas a partir de las respuestas de voltaje), y los pesos de las aristas cuantifican la fuerza y la direccionalidad del acoplamiento dinámico entre los estados.
4. Análisis de Métricas de Grafos: Se calculan dos métricas principales para cuantificar los cambios estructurales:
   • Conectividad (Densidad de Red): Se utiliza un umbral adaptativo basado en la magnitud media de las entradas de la matriz para convertir la matriz ponderada en una matriz de adyacencia binaria. La conectividad se define como la fracción de aristas activas en relación con las conexiones totales posibles.
   • Proximidad de Modularidad (Heterogeneidad de Red): Dado que no se realiza una detección explícita de comunidades, se define una proximidad de modularidad como la dispersión normalizada (desviación estándar dividida por la media) de las fortalezas de los nodos. Esta métrica captura la heterogeneidad de la estructura de la red.

Contribuciones Clave

• Integración de Marcos Novedosos: Este trabajo establece una conexión principista entre la teoría de sistemas dinámicos basada en datos (específicamente DMDc) y el análisis teórico de grafos para modelar la degradación de la batería.
• Representación Libre de Topología: A diferencia de los ECM, este enfoque construye una red directamente a partir de datos sin imponer una topología de circuito predefinida, lo que le permite capturar patrones de acoplamiento emergentes asociados con el envejecimiento.
• Métricas Interpretables: El estudio introduce medidas específicas basadas en grafos (conectividad y proximidad de modularidad) que proporcionan insights a nivel de sistema sobre cómo la degradación se propaga y reorganiza la dinámica interna de la batería.

Resultados
La aplicación de este marco a los datos HPPC de una batería en degradación arrojó las siguientes observaciones:

• Coherencia Espacio-Temporal: En el estado saludable, los modos DMD exhiben variaciones de magnitud suaves y continuas y un comportamiento de fase organizado, lo que indica una dinámica de sistema coherente. A medida que progresa la degradación, la distribución espacial se vuelve irregular y dispersa, con una redistribución de energía desde los modos dominantes hacia aquellos previamente inactivos, lo que refleja una pérdida de coherencia estructural.
• Disminución de la Conectividad: La conectividad de la red disminuye progresivamente con el envejecimiento. Comenzando en un valor alto de 0.68 en el estado saludable, la conectividad cae a 0.653 para el ciclo 40 y posteriormente a 0.623 para el ciclo 340. Esto indica una transición desde una red altamente conectada y estable hacia una estructura fragmentada con interacciones debilitadas.
• Aumento de la Heterogeneidad: La proximidad de modularidad aumenta con la degradación. El estado saludable muestra un valor bajo (~0.3), lo que indica una distribución uniforme de las interacciones. A medida que la batería se degrada, el valor aumenta, lo que significa que las interacciones se distribuyen de manera desigual y la estructura de la red se vuelve más heterogénea y dispersa.

Significado y Afirmaciones
Los autores afirman que este trabajo demuestra la efectividad de las representaciones teóricas de grafos para capturar la dinámica evolutiva de la degradación de la batería. Al transformar la matriz de modos DMDc en una red evolutiva, el enfoque proporciona insights interpretables sobre el comportamiento de envejecimiento a nivel de sistema que los modelos tradicionales podrían pasar por alto. El estudio postula que la degradación se manifiesta como un cambio sistemático desde una red coherente y altamente conectada hacia una estructura más débil, fragmentada y heterogénea.

El artículo concluye que este marco ofrece una nueva vía para comprender los procesos de degradación en las LIB y potencialmente en otros sistemas de almacenamiento de energía. Sin embargo, los autores permanecen modestos respecto a las limitaciones actuales, señalando que los resultados dependen de las elecciones de modelado (por ejemplo, truncamiento de rango, dimensión de incrustación) y que la matriz de adyacencia representa interacciones modales abstractas en lugar de conexiones físicas directas. Sugieren que el trabajo futuro debería centrarse en vincular rigurosamente estas matrices con estructuras físicas y explorar técnicas DMD avanzadas para mejorar la robustez frente al ruido.