Some Taylor varieties with null Hessian

Resumen Técnico: Algunas Variedades de Taylor con Hessiano Nulo

Enunciado del Problema
El artículo aborda la clasificación de hipersuperficies $X = V(f) \subset \mathbb{P}^N$ con determinantes de Hessiano idénticamente nulos ($h_f \equiv 0$). Clásicamente, tales hipersuperficies se caracterizan por derivadas parciales algebraicamente dependientes, lo que implica que la aplicación de Gauss tiene un rango no máximo y la variedad es "tangencialmente degenerada" o "desarrollable". Aunque se sabe que los conos poseen esta propiedad, la clasificación de hipersuperficies no cónicas con Hessiano nulo en dimensiones $N \geq 3$ es un problema clásico iniciado por P. Gordon y M. Noether. Los autores se centran en una familia específica de variedades algebraicas conocidas como variedades de Taylor ($T^n_{d,e,m}$), introducidas recientemente por Conca, Naldi, Ottaviani y Sturmfels [CNOS23]. Estas variedades surgen de la expansión de Taylor de funciones racionales en $n$ variables. Trabajos anteriores establecieron que las variedades de Taylor con $m = d+1$ tienen Hessiano nulo. El problema central de este artículo es investigar el caso donde $m = d+2$ (específicamente para $n=2$) para determinar si estas variedades también producen nuevos ejemplos de hipersuperficies no defectuosas con Hessiano idénticamente nulo.

Metodología
Los autores emplean una combinación de técnicas de geometría algebraica y álgebra lineal centradas en la matriz de Padé asociada a las variedades de Taylor.

1. Variedades de Taylor y Matrices de Padé: La variedad de Taylor $T^n_{d,e,m}$ se define como el cierre proyectivo de la imagen de un mapa $\psi$ que envía pares de polinomios $(P, Q)$ a los coeficientes de la expansión de Taylor de $P/Q$ hasta el orden $m$. La variedad se describe mediante la anulación de los menores maximales de una matriz de Padé $P_T$. Cuando $T^n_{d,e,m}$ es una hipersuperficie no defectuosa, su ecuación definitoria viene dada por $f = \det(P_T)$.
2. Operaciones por Columnas e Invarianza: Para analizar el Hessiano de $f$, los autores introducen un conjunto específico de operaciones elementales por columnas sobre la matriz de Padé $P_T$. Reemplazan columnas en bloques $C_j$ (para $j > d-e+2$) con combinaciones lineales de columnas de un bloque de referencia específico $C_{d-e+2}$, utilizando variables auxiliares $\lambda$.
3. Diferenciación y Análisis del Núcleo: Según el Lema 4.2, estas operaciones preservan el determinante ($f$). Dado que $f$ es independiente de las variables auxiliares $\lambda$, las derivadas parciales de $f$ con respecto a $\lambda$ deben anularse. Esta condición produce un sistema de ecuaciones lineales que involucra las derivadas parciales de $f$ con respecto a los coeficientes $c_\gamma$.
4. Construcción de la Matriz de Hankel: Estas relaciones lineales se organizan en una matriz de Hankel $M$. Los autores demuestran que el vector de derivadas parciales de $f$ se encuentra en el núcleo de $M$. Al analizar las dimensiones de $M$ y el número de variables, prueban que el rango de $M$ es estrictamente menor que la dimensión del espacio de las derivadas parciales.

Contribuciones y Resultados Clave

• Teorema Principal (Teorema 1.1): Los autores prueban que para $n=2$, la variedad de Taylor $T^2_{d,e,d+2}$, siempre que sea una hipersuperficie no defectuosa, tiene un Hessiano idénticamente nulo ($h_f \equiv 0$).
• Análisis de Caso Específico: El artículo proporciona un análisis detallado del ejemplo no trivial más pequeño, $T^2_{5,4,7}$ (donde $d=5, e=4, m=7$). Construyen explícitamente la matriz de Padé de $15 \times 15$ para este caso y demuestran la existencia de un núcleo no trivial para el sistema lineal asociado de derivadas parciales, confirmando el Hessiano nulo sin calcular el determinante completo del Hessiano.
• Demostración General: La metodología utilizada para el caso específico se generaliza en la Sección 4 para probar el resultado para $d$ y $e$ arbitrarios bajo la hipótesis de no defectuosidad. La demostración se basa en mostrar que la imagen del mapa polar (el gradiente de $f$) está contenida en un subespacio lineal propio definido por la anulación de los menores maximales de la matriz $M$.
• Verificación Computacional: Los autores proporcionan código en Macaulay2 (Sección 5) para construir matrices de Padé y verificar la no singularidad del determinante para elecciones específicas de parámetros, asegurando que las variedades son efectivamente hipersuperficies.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma proporcionar nuevos ejemplos de hipersuperficies no defectuosas con Hessiano idénticamente nulo que no son conos. Específicamente, extiende los resultados conocidos de [CNOS23] (que cubrían el caso $m=d+1$) al caso $m=d+2$ para dos variables.

Los autores sitúan su trabajo dentro del contexto histórico de la clasificación de hipersuperficies con Hessiano nulo, señalando que, aunque existen cúbicas de Perazzo y otros ejemplos, encontrar nuevas familias es significativo. El artículo afirma explícitamente que estas variedades de Taylor ofrecen una "nueva fuente de variedades con Hessiano nulo". El significado radica en el mecanismo algebraico utilizado: los autores demuestran que la estructura específica de la matriz de Padé para $m=d+2$ fuerza inherentemente la dependencia algebraica entre las derivadas parciales del polinomio definitorio, garantizando así una aplicación de Gauss degenerada. El artículo no afirma resolver el problema completo de clasificación para todas las dimensiones o parámetros, sino que restringe su alcance a probar la propiedad de Hessiano nulo para esta familia específica de variedades de Taylor.