Some Taylor varieties with null Hessian

Résumé technique : Certaines variétés de Taylor à hessien nul

Énoncé du problème
L'article traite de la classification des hypersurfaces $X = V(f) \subset \mathbb{P}^N$ dont le déterminant hessien s'annule identiquement ($h_f \equiv 0$). Classiquement, de telles hypersurfaces se caractérisent par des dérivées partielles algébriquement dépendantes, ce qui implique que l'application de Gauss est de rang non maximal et que la variété est « tangentiellement dégénérée » ou « développable ». Bien qu'il soit établi que les cônes possèdent cette propriété, la classification des hypersurfaces non coniques à hessien nul en dimensions $N \geq 3$ constitue un problème classique initié par P. Gordon et M. Noether. Les auteurs se concentrent sur une famille spécifique de variétés algébriques, les variétés de Taylor ($T^n_{d,e,m}$), introduites récemment par Conca, Naldi, Ottaviani et Sturmfels [CNOS23]. Ces variétés découlent du développement de Taylor de fonctions rationnelles en $n$ variables. Des travaux antérieurs ont établi que les variétés de Taylor avec $m = d+1$ possèdent un hessien nul. Le problème central de cet article est d'examiner le cas où $m = d+2$ (spécifiquement pour $n=2$) afin de déterminer si ces variétés fournissent également de nouveaux exemples d'hypersurfaces non défectueuses à hessien identiquement nul.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de techniques de géométrie algébrique et d'algèbre linéaire centrées sur la matrice de Padé associée aux variétés de Taylor.

1. Variétés de Taylor et matrices de Padé : La variété de Taylor $T^n_{d,e,m}$ est définie comme l'adhérence projective de l'image d'une application $\psi$ envoyant des paires de polynômes $(P, Q)$ sur les coefficients du développement de Taylor de $P/Q$ jusqu'à l'ordre $m$. La variété est décrite par l'annulation des mineurs maximaux d'une matrice de Padé $P_T$. Lorsque $T^n_{d,e,m}$ est une hypersurface non défectueuse, son équation définissante est donnée par $f = \det(P_T)$.
2. Opérations sur les colonnes et invariance : Pour analyser le hessien de $f$, les auteurs introduisent un ensemble spécifique d'opérations élémentaires sur les colonnes de la matrice de Padé $P_T$. Ils remplacent les colonnes dans les blocs $C_j$ (pour $j > d-e+2$) par des combinaisons linéaires de colonnes issues d'un bloc de référence spécifique $C_{d-e+2}$, en utilisant des variables auxiliaires $\lambda$.
3. Différentiation et analyse du noyau : D'après le lemme 4.2, ces opérations préservent le déterminant ($f$). Puisque $f$ est indépendant des variables auxiliaires $\lambda$, les dérivées partielles de $f$ par rapport à $\lambda$ doivent s'annuler. Cette condition engendre un système d'équations linéaires impliquant les dérivées partielles de $f$ par rapport aux coefficients $c_\gamma$.
4. Construction de la matrice de Hankel : Ces relations linéaires sont organisées dans une matrice de Hankel $M$. Les auteurs démontrent que le vecteur des dérivées partielles de $f$ appartient au noyau de $M$. En analysant les dimensions de $M$ et le nombre de variables, ils prouvent que le rang de $M$ est strictement inférieur à la dimension de l'espace des dérivées partielles.

Contributions et résultats clés

• Théorème principal (Théorème 1.1) : Les auteurs prouvent que pour $n=2$, la variété de Taylor $T^2_{d,e,d+2}$, à condition qu'elle soit une hypersurface non défectueuse, possède un hessien identiquement nul ($h_f \equiv 0$).
• Analyse d'un cas spécifique : L'article fournit une analyse détaillée du plus petit exemple non trivial, $T^2_{5,4,7}$ (où $d=5, e=4, m=7$). Ils construisent explicitement la matrice de Padé $15 \times 15$ pour ce cas et démontrent l'existence d'un noyau non trivial pour le système linéaire associé des dérivées partielles, confirmant ainsi l'annulation du hessien sans calculer le déterminant hessien complet.
• Preuve générale : La méthodologie utilisée pour le cas spécifique est généralisée dans la section 4 pour prouver le résultat pour $d$ et $e$ arbitraires sous l'hypothèse de non-défectuosité. La preuve repose sur la démonstration que l'image de l'application polaire (le gradient de $f$) est contenue dans un sous-espace linéaire propre défini par l'annulation des mineurs maximaux de la matrice $M$.
• Vérification computationnelle : Les auteurs fournissent un code Macaulay2 (section 5) pour construire les matrices de Padé et vérifier la non-singularité du déterminant pour des choix spécifiques de paramètres, assurant ainsi que les variétés sont bien des hypersurfaces.

Portée et affirmations
L'article prétend fournir de nouveaux exemples d'hypersurfaces non défectueuses à hessien identiquement nul qui ne sont pas des cônes. Plus précisément, il étend les résultats connus de [CNOS23] (qui couvraient le cas $m=d+1$) au cas $m=d+2$ pour deux variables.

Les auteurs situent leur travail dans le contexte historique de la classification des hypersurfaces à hessien nul, notant que bien que des exemples tels que les cubiques de Perazzo et d'autres existent, la découverte de nouvelles familles est significative. L'article indique explicitement que ces variétés de Taylor offrent une « nouvelle source de variétés à hessien nul ». La portée réside dans le mécanisme algébrique utilisé : les auteurs démontrent que la structure spécifique de la matrice de Padé pour $m=d+2$ impose intrinsèquement une dépendance algébrique parmi les dérivées partielles du polynôme définissant, garantissant ainsi une application de Gauss dégénérée. L'article ne prétend pas résoudre le problème complet de la classification pour toutes les dimensions ou tous les paramètres, mais restreint son champ d'application à la preuve de la propriété d'annulation du hessien pour cette famille spécifique de variétés de Taylor.