Analysis of a Competitive Bivirus SIS Epidemic Model with Game Theoretic Social Distancing

Resumen Técnico: Análisis de un Modelo SIS de Epidemia Bi-viral Competitiva con Distanciamiento Social Basado en Teoría de Juegos

Enunciado del Problema
La epidemiología matemática se ha centrado tradicionalmente en la propagación de un solo virus o en supuestos de comportamiento estáticos. Sin embargo, los escenarios del mundo real a menudo implican la circulación simultánea de virus competidores (por ejemplo, la influenza y el resfriado común) y respuestas públicas dinámicas ante los brotes, como el distanciamiento social. Los modelos existentes de bi-virus competitivos suelen no tener en cuenta la coevolución de la toma de decisiones individuales y la transmisión de enfermedades. Específicamente, no modelan cómo la percepción pública de las amenazas virales y los costos asociados a las estrategias de mitigación alteran dinámicamente la infectividad efectiva de las cepas competidoras. Este artículo aborda esta brecha proponiendo un modelo que integra la dinámica de bi-virus competitivos con la teoría de juegos evolutiva para describir cómo los individuos eligen dinámicamente distanciar o no socialmente en función de la prevalencia de dos virus competidores.

Metodología
Los autores construyen un sistema dinámico novedoso compuesto por cinco ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no lineales acopladas. Las variables de estado representan las fracciones de la población infectadas por el Virus 1 ($y_1$), el Virus 2 ($y_2$), y las fracciones de individuos susceptibles ($z_S$) e infectados ($z_1, z_2$) que practican el distanciamiento social.

1. Dinámica Epidémica: El modelo utiliza un marco Susceptible-Infectado-Susceptible (SIS) para dos virus competitivos. Las tasas de infección se modulan mediante un factor de distanciamiento social $q \in (0,1)$, que reduce las tasas de contacto.
2. Dinámica Conductual: Las decisiones individuales de distanciamiento social se modelan mediante ecuaciones replicadoras, una herramienta estándar en la teoría de juegos evolutiva.
   • Individuos Susceptibles: Su pago por el distanciamiento social depende del costo económico/social ($c_D$) frente al riesgo percibido de infección, que es una función lineal de la prevalencia actual de ambos virus ($r_1 y_1 + r_2 y_2$).
   • Individuos Infectados: Su pago depende del costo del distanciamiento social ($c_D$) frente a un costo percibido de no distanciar ($c_i$), que representa el riesgo de infectar a otros.
3. Herramientas de Análisis: Los autores emplean técnicas de análisis de estabilidad que incluyen linealización de Jacobiano, análisis del radio espectral y la Teoría de la Variedad Central. Investigan específicamente la monotonía del sistema y la estabilidad de varias clases de equilibrio: Equilibrios Libres de Enfermedad (DFE), Equilibrios Unilaterales (endemia de un solo virus) y Equilibrios de Coexistencia (endemia de ambos virus).

Contribuciones Clave
El artículo realiza varias contribuciones teóricas a la comprensión de los sistemas multi-virales con comportamiento dinámico:

• No Monotonía: A diferencia de los modelos clásicos de bi-virus competitivos SIS, los autores demuestran (Teorema 3.1) que su sistema acoplado no es un sistema dinámico monótono (MDS). Esto implica que las garantías de convergencia estándar para los MDS no son aplicables y que no se pueden descartar comportamientos más complejos (como ciclos límite o caos) sin un análisis adicional.
• Clasificación de Equilibrios: El artículo clasifica exhaustivamente los equilibrios del sistema:
  • DFE: Identifica ocho posibles DFE basados en las decisiones binarias de distanciamiento social para las poblaciones susceptibles e infectadas.
  • Equilibrios Unilaterales: Caracteriza estados donde un virus persiste y el otro se extingue, con diversos niveles de distanciamiento social (ninguno, todos o parcial).
  • Equilibrios de Coexistencia: Demuestra que los equilibrios de coexistencia no aparecen como puntos aislados, sino como continuos (líneas o curvas) de equilibrios, ocurriendo únicamente cuando los números básicos de reproducción de ambos virus son idénticos ($R_0^1 = R_0^2$).
• Condiciones de Estabilidad:
  • Estabilidad DFE: Proporciona condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad exponencial casi global de los DFE, vinculando la estabilidad al número de reproducción efectivo siendo menor que la unidad.
  • Estabilidad Unilateral: Deriva condiciones para la estabilidad de los estados endémicos de un solo virus, mostrando que la estabilidad depende del número de reproducción efectivo del virus dominante y del pago de la población por el distanciamiento social.
  • Estabilidad de Coexistencia: Utiliza la Teoría de la Variedad Central para establecer condiciones de estabilidad local para los continuos de equilibrios de coexistencia.

Resultados
Los hallazgos teóricos se respaldan mediante simulaciones numéricas utilizando métodos de Runge-Kutta. Los resultados clave incluyen:

1. Impacto Conductual en la Erradicación: El modelo ilustra que la percepción pública y el costo del distanciamiento social pueden desplazar el sistema de un estado endémico a un estado libre de enfermedades, incluso si los números básicos de reproducción ($R_0$) son mayores que 1.
2. Dominio y Exclusión: En escenarios unilaterales, el virus con el número de reproducción efectivo más alto (mediado por el comportamiento de distanciamiento social) tiende a dominar y excluir al otro, siempre que se cumplan umbrales específicos de costo-beneficio.
3. Continuo de Coexistencia: Cuando los virus tienen números básicos de reproducción idénticos, el sistema admite una línea de equilibrios de coexistencia. La estabilidad de esta línea depende de si el número de reproducción efectivo es suficientemente alto o bajo en relación con el costo del distanciamiento social.
4. Dinámica Compleja: En la Sección 9.2, los autores exploran un modelo modificado con un "término de coordinación" (donde el distanciamiento social se refuerza socialmente). Esta modificación introduce la posibilidad de ciclos límite, demostrando que la interacción entre la dinámica de opiniones y la propagación epidémica puede generar un comportamiento oscilatorio no presente en el modelo base.

Significado
El artículo afirma su importancia al ilustrar rigurosamente cómo el comportamiento social media la infectividad efectiva de los virus competidores. Al ir más allá de los supuestos estáticos, el modelo revela que:

• La percepción pública de los niveles de amenaza es un determinante crítico en si los virus persisten o se extinguen.
• La distinción entre la percepción de diferentes virus es necesaria para comprender escenarios multi-virales.
• La introducción de dinámicas basadas en la teoría de juegos altera fundamentalmente el paisaje de estabilidad en comparación con los modelos clásicos, alejando al sistema de la monotonía y abriendo la puerta a comportamientos dinámicos más complejos.

El trabajo proporciona un marco para analizar cómo las políticas de mitigación (como el distanciamiento social) interactúan con la competencia viral, sugiriendo que el éxito de dichas políticas depende en gran medida de la retroalimentación dinámica entre la prevalencia de la infección y los cálculos individuales de costo-beneficio.