Analysis of a Competitive Bivirus SIS Epidemic Model with Game Theoretic Social Distancing

Technische Samenvatting: Analyse van een Competitief Bi-virus SIS Epidemisch Model met Speltheoretische Sociale Distancing

Probleemstelling
Mathematische epidemiologie heeft zich traditioneel gericht op de verspreiding van een enkel virus of op statische gedragsaannames. Echter, real-world scenario's omvatten vaak de gelijktijdige circulatie van concurrerende virussen (bijvoorbeeld influenza en de gewone verkoudheid) en dynamische publieke reacties op uitbraken, zoals sociale distancing. Bestaande competitieve bi-virusmodellen slagen er doorgaans niet in rekening te houden met de co-evolutie van individuele besluitvorming en ziekte-overdracht. Specifiek modelleren zij niet hoe de publieke perceptie van virale bedreigingen en de bijbehorende kosten van mitigatiestrategieën de effectieve besmettelijkheid van concurrerende stammen dynamisch veranderen. Dit artikel adresseert deze lacune door een model voor te stellen dat competitieve bi-virusdynamiek integreert met evolutionaire speltheorie om te beschrijven hoe individuen dynamisch kiezen voor sociale distancing of niet, gebaseerd op de prevalentie van twee concurrerende virussen.

Methodologie
De auteurs construeren een nieuw dynamisch systeem bestaande uit vijf gekoppelde niet-lineaire gewone differentiaalvergelijkingen (ODE's). De toestandsvariabelen representeren de fracties van de populatie die geïnfecteerd zijn door Virus 1 ($y_1$), Virus 2 ($y_2$), en de fracties van vatbare ($z_S$) en geïnfecteerde ($z_1, z_2$) individuen die sociale distancing toepassen.

1. Epidemische Dynamiek: Het model maakt gebruik van een Susceptible-Infected-Susceptible (SIS) kader voor twee concurrerende virussen. Infectiepercentages worden gemoduleerd door een sociale distancing-factor $q \in (0,1)$, die contactpercentages verlaagt.
2. Gedragsdynamiek: Individuele beslissingen om sociale distancing toe te passen, worden gemodelleerd met replicatorvergelijkingen, een standaardtool in evolutionaire speltheorie.
   • Vatbare Individuen: Hun uitbetaling voor sociale distancing hangt af van de economische/sociale kosten ($c_D$) versus het waargenomen risico op infectie, wat een lineaire functie is van de huidige prevalentie van beide virussen ($r_1 y_1 + r_2 y_2$).
   • Geïnfecteerde Individuen: Hun uitbetaling hangt af van de kosten van sociale distancing ($c_D$) versus een waargenomen kostenpost van niet-distancing ($c_i$), wat het risico vertegenwoordigt om anderen te besmetten.
3. Analyse Hulpmiddelen: De auteurs maken gebruik van stabiliteitsanalyse-technieken, waaronder Jacobiaanse linearisatie, spectrale radius-analyse en Center Manifold-theorie. Zij onderzoeken specifiek de monotonie van het systeem en de stabiliteit van diverse evenwichtsklassen: Ziektevrije Evenwichten (DFE), Unilaterale Evenwichten (enkel virus endemisch) en Co-existentie Evenwichten (beide virussen endemisch).

Belangrijkste Bijdragen
Het artikel levert verschillende theoretische bijdragen aan het begrip van multi-virus systemen met dynamisch gedrag:

• Non-Monotonie: In tegenstelling tot klassieke competitieve bi-virus SIS-modellen, bewijzen de auteurs (Stelling 3.1) dat hun gekoppelde systeem geen monotoon dynamisch systeem (MDS) is. Dit impliceert dat standaard convergentiegaranties voor MDS niet van toepassing zijn, en dat complexer gedrag (zoals limietcycli of chaos) niet kan worden uitgesloten zonder verdere analyse.
• Classificatie van Evenwichten: Het artikel classificeert de evenwichten van het systeem exhaustief:
  • DFE's: Identificeert acht mogelijke DFE's gebaseerd op de binaire keuzes voor sociale distancing voor vatbare en geïnfecteerde populaties.
  • Unilaterale Evenwichten: Karakteriseert toestanden waarbij één virus persisteert en het andere uitsterft, met variërende niveaus van sociale distancing (geen, allen, of gedeeltelijk).
  • Co-existentie Evenwichten: Demonstreert dat co-existentie evenwichten niet voorkomen als geïsoleerde punten, maar als continuums (lijnen of krommen) van evenwichten, die uitsluitend optreden wanneer de basisreproductiegetallen van beide virussen identiek zijn ($R_0^1 = R_0^2$).
• Stabiliteitsvoorwaarden:
  • DFE Stabiliteit: Biedt noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor de bijna globale exponentiële stabiliteit van DFE's, waarbij stabiliteit wordt gekoppeld aan het effectieve reproductiegetal dat kleiner is dan eenheid.
  • Unilaterale Stabiliteit: Leidt voorwaarden af voor de stabiliteit van enkel-virus endemische toestanden, en toont aan dat stabiliteit afhankelijk is van het effectieve reproductiegetal van het dominante virus en de uitbetaling voor sociale distancing van de populatie.
  • Co-existentie Stabiliteit: Gebruikt Center Manifold-theorie om lokale stabiliteitsvoorwaarden vast te stellen voor de continuums van co-existentie evenwichten.

Resultaten
De theoretische bevindingen worden ondersteund door numerieke simulaties met behulp van Runge-Kutta methoden. Belangrijke resultaten zijn:

1. Gedragsimpact op Uitroeiing: Het model illustreert dat publieke perceptie en de kosten van sociale distancing het systeem kunnen verschuiven van een endemische staat naar een ziektevrije staat, zelfs als de basisreproductiegetallen ($R_0$) groter zijn dan 1.
2. Dominantie en Uitsluiting: In unilaterale scenario's neigt het virus met het hogere effectieve reproductiegetal (gemedieerd door sociaal distancing-gedrag) tot dominantie en uitsluiting van het andere, mits specifieke kosten-baten drempels worden gehaald.
3. Continuum van Co-existentie: Wanneer virussen identieke basisreproductiegetallen hebben, staat het systeem een lijn van co-existentie evenwichten toe. De stabiliteit van deze lijn hangt af van of het effectieve reproductiegetal voldoende hoog of laag is ten opzichte van de kosten van sociale distancing.
4. Complexe Dynamiek: In Sectie 9.2 verkennen de auteurs een gemodificeerd model met een "coördinatie-term" (waarbij sociale distancing sociaal wordt versterkt). Deze modificatie introduceert de mogelijkheid van limietcycli, en demonstreert dat de wisselwerking tussen opiniedynamiek en epidemische verspreiding oscillerend gedrag kan genereren dat niet aanwezig is in het basismodel.

Betekenis
Het artikel claimt betekenis in het rigoureus illustreren hoe sociaal gedrag de effectieve besmettelijkheid van concurrerende virussen mede bepaalt. Door voorbij statische aannames te gaan, onthult het model dat:

• Publieke perceptie van dreigingsniveaus een kritieke determinant is in of virussen persisten of uitsterven.
• Het onderscheid tussen de perceptie van verschillende virussen noodzakelijk is om multi-virus scenario's te begrijpen.
• De introductie van speltheoretische dynamiek fundamenteel het stabiliteitslandschap verandert in vergelijking met klassieke modellen, het systeem weg beweegt van monotonie en de deur opent voor complexere dynamische gedragingen.

Het werk biedt een kader voor het analyseren hoe mitigatiebeleid (zoals sociale distancing) interacteert met virale competitie, en suggereert dat het succes van dergelijk beleid sterk afhankelijk is van de dynamische feedback tussen infectieprevalentie en individuele kosten-batenberekeningen.