Analysis of a Competitive Bivirus SIS Epidemic Model with Game Theoretic Social Distancing

기술적 요약: 게임 이론적 사회적 거리두기를 포함한 경쟁적 이-바이러스 SIS 전염병 모델 분석

문제 제기
수학적 역학은 전통적으로 단일 바이러스 확산 또는 정적 행동 가정에 초점을 맞추어 왔습니다. 그러나 실제 시나리오는 인플루엔자와 감기 등 경쟁하는 바이러스의 동시 유행과 전염병에 대한 사회적 거리두기와 같은 역동적인 대중의 대응을 종종 포함합니다. 기존 경쟁적 이-바이러스 모델은 일반적으로 개인의 의사결정과 질병 전파의 공진화를 고려하지 못합니다. 구체적으로, 바이러스 위협에 대한 대중의 인식과 완화 전략의 관련 비용이 경쟁 균주의 유효 전염성을 어떻게 역동적으로 변화시키는지를 모델링하지 못합니다. 본 논문은 두 경쟁 바이러스의 유병률에 기반하여 개인이 사회적 거리두기를 할지 여부를 역동적으로 선택하는 방식을 설명하기 위해 경쟁적 이-바이러스 역학을 진화 게임 이론과 통합한 모델을 제안함으로써 이 격차를 해소합니다.

방법론
저자들은 다섯 개의 결합된 비선형 상미분 방정식 (ODE) 으로 구성된 새로운 동역학 시스템을 구축합니다. 상태 변수는 바이러스 1($y_1$) 과 바이러스 2($y_2$) 에 감염된 인구 비율, 그리고 사회적 거리두기를 실천하는 감염자($z_1, z_2$) 및 감염되지 않은 사람($z_S$) 의 비율을 나타냅니다.

1. 전염병 역학: 이 모델은 두 경쟁 바이러스에 대한 감염자 - 감염자 - 감염자 (SIS) 프레임워크를 사용합니다. 감염률은 접촉률을 감소시키는 사회적 거리두기 인자 $q \in (0,1)$에 의해 조절됩니다.
2. 행동 역학: 사회적 거리두기에 대한 개인의 결정은 진화 게임 이론의 표준 도구인 복제자 방정식 (replicator equations) 을 사용하여 모델링됩니다.
   • 감염되지 않은 개인: 사회적 거리두기에 대한 그들의 보상은 경제적/사회적 비용 ($c_D$) 대 두 바이러스의 현재 유병률 ($r_1 y_1 + r_2 y_2$) 의 선형 함수인 감염에 대한 지각된 위험에 따라 달라집니다.
   • 감염된 개인: 그들의 보상은 사회적 거리두기의 비용 ($c_D$) 대 타인을 감염시킬 위험을 나타내는 거리두기를 하지 않을 때의 지각된 비용 ($c_i$) 에 따라 달라집니다.
3. 분석 도구: 저자들은 야코비안 선형화, 스펙트럼 반경 분석, 중심 다양체 이론을 포함한 안정성 분석 기법을 사용합니다. 그들은 구체적으로 시스템의 단조성과 다양한 균형 클래스 (질병 없는 균형, 일방적 균형, 공존 균형) 의 안정성을 조사합니다.

주요 기여
이 논문은 역동적 행동을 가진 다중 바이러스 시스템에 대한 이해에 다음과 같은 이론적 기여를 합니다.

• 비단조성: 고전적인 경쟁적 이-바이러스 SIS 모델과 달리, 저자들은 (정리 3.1) 결합된 시스템이 단조 동역학 시스템 (MDS) 이 아님을 증명합니다. 이는 MDS 에 대한 표준 수렴 보장이 적용되지 않으며, 추가 분석 없이는 한계 주기나 혼돈과 같은 더 복잡한 행동을 배제할 수 없음을 의미합니다.
• 균형 분류: 이 논문은 시스템의 균형을 철저히 분류합니다.
  • 질병 없는 균형 (DFE): 감염되지 않은 인구와 감염된 인구의 사회적 거리두기 이진 선택에 기반한 여덟 가지 가능한 DFE 를 식별합니다.
  • 일방적 균형: 사회적 거리두기 수준 (없음, 전체, 또는 부분) 이 변하는 상태에서 한 바이러스가 지속되고 다른 바이러스가 소멸하는 상태를 특징화합니다.
  • 공존 균형: 공존 균형이 고립된 점으로 나타나지 않고 두 바이러스의 기본 재생산 수가 동일한 ($R_0^1 = R_0^2$) 경우에만 발생하는 균형의 연속체 (선 또는 곡선) 로 나타난다는 것을 보여줍니다.
• 안정성 조건:
  • DFE 안정성: 유효 재생산 수가 1 미만인 것과 DFE 의 거의 전역 지수 안정성을 연결하는 DFE 의 거의 전역 지수 안정성을 위한 필요충분 조건을 제공합니다.
  • 일방적 안정성: 단일 바이러스 풍토병 상태의 안정성을 위한 조건을 유도하며, 안정성이 지배적 바이러스의 유효 재생산 수와 인구의 사회적 거리두기 보장에 의존함을 보여줍니다.
  • 공존 안정성: 중심 다양체 이론을 사용하여 공존 균형 연속체의 국소 안정성 조건을 확립합니다.

결과
이론적 발견은 Runge-Kutta 방법을 사용한 수치 시뮬레이션으로 뒷받침됩니다. 주요 결과는 다음과 같습니다.

1. 근절에 대한 행동적 영향: 이 모델은 기본 재생산 수 ($R_0$) 가 1 보다 크더라도 대중의 인식과 사회적 거리두기 비용이 시스템을 풍토병 상태에서 질병 없는 상태로 전환할 수 있음을 보여줍니다.
2. 우세와 배제: 일방적 시나리오에서 사회적 거리두기 행동에 의해 매개된 더 높은 유효 재생산 수를 가진 바이러스는 특정 비용 - 편익 임계값이 충족되는 경우 다른 바이러스를 지배하고 배제하는 경향이 있습니다.
3. 공존의 연속체: 바이러스가 동일한 기본 재생산 수를 가질 때, 시스템은 공존 균형의 선을 허용합니다. 이 선의 안정성은 사회적 거리두기 비용에 비해 유효 재생산 수가 충분히 높은지 낮은지에 따라 달라집니다.
4. 복잡한 역학: 9.2 절에서 저자들은 사회적 강화가 이루어지는 사회적 거리두기를 포함하는 "조정 항"이 있는 수정된 모델을 탐구합니다. 이 수정은 한계 주기의 가능성을 도입하여, 의견 역학과 전염병 확산 간의 상호작용이 기본 모델에는 존재하지 않는 진동 행동을 생성할 수 있음을 보여줍니다.

의의
이 논문은 경쟁하는 바이러스의 유효 전염성을 매개하는 사회적 행동을 엄격하게 보여줌으로써 중요성을 주장합니다. 정적 가정을 넘어선 이 모델은 다음과 같은 사실을 드러냅니다.

• 위협 수준에 대한 대중의 인식은 바이러스가 지속되거나 소멸하는지 여부에 대한 결정적 요인입니다.
• 다중 바이러스 시나리오를 이해하기 위해서는 서로 다른 바이러스에 대한 인식의 구분이 필요합니다.
• 게임 이론적 역학의 도입은 고전적 모델과 비교하여 안정성 지형을 근본적으로 변화시켜 시스템을 단조성에서 벗어나게 하고 더 복잡한 동역학적 행동을 위한 문을 엽니다.

이 연구는 사회적 거리두기와 같은 완화 정책이 바이러스 경쟁과 어떻게 상호작용하는지 분석하는 틀을 제공하며, 이러한 정책의 성공은 감염 유병률과 개인의 비용 - 편익 계산 간의 역동적 피드백에 크게 의존함을 시사합니다.