Adaptive MPC for Constrained Trajectory Tracking of Uncertain LTI System with Input-Rate Limits

Resumen Técnico: MPC Adaptativo para el Seguimiento de Trayectorias con Restricciones en Sistemas LTI Inciertos con Límites en la Tasa de Entrada

Enunciado del Problema
Este artículo aborda el problema de seguimiento de trayectorias para sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI) de tiempo discreto sujetos a incertidumbre paramétrica acotada. El diseño de control debe satisfacer simultáneamente restricciones duras en los estados del sistema, las entradas de control y, crucialmente, las tasas de entrada (incrementos). Si bien el Control Predictivo basado en Modelos (MPC) es un marco estándar para manejar restricciones, el MPC clásico depende de modelos precisos de la planta, los cuales a menudo no están disponibles debido a errores de modelado y variaciones de parámetros. Los enfoques existentes de MPC adaptativo suelen centrarse en problemas de regulación, omiten las restricciones en la tasa de entrada o no abordan el acoplamiento temporal introducido por los límites en la tasa de entrada bajo incertidumbre paramétrica completa. El desafío específico radica en determinar la entrada de control requerida para un error de seguimiento nulo cuando los parámetros del sistema son desconocidos, asegurando al mismo tiempo que el conjunto de control admisible, que varía en el tiempo e inducido por las restricciones en la tasa de entrada, no comprometa la factibilidad recursiva ni la estabilidad del lazo cerrado.

Metodología
La solución propuesta es un marco de MPC Adaptativo que transforma el problema de seguimiento de trayectorias en un problema de regulación utilizando coordenadas de error relativas a una trayectoria de referencia variable en el tiempo. La metodología procede a través de varios pasos clave:

1. Reformulación del Sistema: Las dinámicas del sistema se expresan en términos de estados de error ($x^e_k = x_k - x^r_k$) y entradas de error ($u^e_k = u_k - u^r_k$). Esta transformación permite tratar el problema de seguimiento como un problema de regulación donde el objetivo es conducir los estados de error hacia el origen.
2. Ley Adaptativa Indirecta: Se emplea una ley adaptativa de descenso de gradiente basada en proyección para estimar los parámetros inciertos agrupados ($\Theta = [A, B]$) en línea. Las estimaciones se restringen a permanecer dentro de una envolvente convexa conocida ($\Psi$) de los posibles valores de parámetros para garantizar la acotación.
3. Caracterización del Conjunto de Error: El artículo define rigurosamente conjuntos que acotan los errores inducidos por la adaptación de parámetros ($\tilde{x}^e_k$) y la variación en las estimaciones de parámetros ($\Delta \hat{\Theta}$). Estos conjuntos se utilizan para endurecer las restricciones en el problema de optimización del MPC.
4. Reformulación de Restricciones: Las restricciones de estado, entrada y tasa de entrada se reformulan en el dominio de las dinámicas de error. Una contribución significativa es el manejo de las restricciones en la tasa de entrada, que introducen un acoplamiento temporal entre entradas de control sucesivas. Se demuestra que el conjunto de control admisible es variable en el tiempo debido a su dependencia de la entrada de control anterior, aunque sigue siendo un polítopo convexo.
5. Formulación Robusta de MPC: La entrada de control se descompone en un término de retroalimentación de estado estabilizador ($Kx^e_k$) y una variable de optimización libre ($v^e_k$). El problema de optimización del MPC se formula utilizando un modelo predictivo nominal basado en las estimaciones actuales de parámetros. Para garantizar la robustez frente a errores de estimación, las restricciones sobre los estados nominales predichos se endurecen restando los conjuntos de error calculados ($Z^\Theta_i$ y $Z^{\tilde{x}^e}$).
6. Análisis de Estabilidad y Factibilidad:
   • Factibilidad Recursiva: El artículo establece que, a pesar de la naturaleza variable en el tiempo del conjunto de control admisible, el problema de optimización permanece recursivamente factible. Esto se demuestra construyendo una solución candidata factible en el siguiente paso de tiempo basada en la solución óptima del paso actual, teniendo en cuenta el desplazamiento en la restricción de tasa de entrada.
   • Estabilidad del Lazo Cerrado: Mediante un análisis basado en Lyapunov, el artículo demuestra que el sistema en lazo cerrado es acotado y que el error de seguimiento converge asintóticamente a cero. El análisis tiene en cuenta la acotación de los errores de estimación de parámetros y los términos de perturbación que surgen del desajuste del modelo.

Contribuciones Clave

• MPC Adaptativo Sistemático para Seguimiento: A diferencia de trabajos anteriores centrados en la regulación o restricciones parciales, este trabajo proporciona una solución sistemática para el seguimiento de trayectorias con restricciones bajo incertidumbre paramétrica completa.
• Manejo de Restricciones en la Tasa de Entrada: El artículo aborda explícitamente la complejidad introducida por las restricciones en la tasa de entrada, que acoplan las entradas de control sucesivas y crean un conjunto admisible variable en el tiempo. Demuestra cómo mantener la factibilidad recursiva en este contexto específico.
• Pruebas Rigurosas de Factibilidad y Estabilidad: Los autores proporcionan demostraciones matemáticas rigurosas tanto para la factibilidad recursiva como para la estabilidad del lazo cerrado (convergencia del error de seguimiento y acotación de los estados físicos) a pesar de la presencia de incertidumbre y restricciones variables en el tiempo.
• Estrategia de Endurecimiento de Restricciones: El método utiliza parámetros estimados adaptativamente y límites de error derivados para endurecer las restricciones en la rutina de optimización, asegurando que los estados reales del sistema satisfagan las restricciones físicas originales.

Resultados de Simulación
La efectividad del marco propuesto se valida mediante simulaciones en una planta de tiempo discreto de segundo orden con parámetros inciertos. El sistema tiene la tarea de seguir una trayectoria de referencia variable en el tiempo mientras cumple con restricciones en estados ($\|x\|_\infty \leq 2.25$), entradas ($\|u\|_\infty \leq 3$) y tasas de entrada ($\|\Delta u\|_\infty \leq 2.5$).

• Las simulaciones demuestran que los estados del sistema siguen con éxito la trayectoria de referencia mientras permanecen dentro de los límites prescritos.
• Las entradas de control y sus tasas satisfacen las restricciones impuestas durante toda la simulación.
• Se muestra que los errores de estimación de parámetros permanecen acotados. Una observación notable es que un cambio repentino en la trayectoria de referencia en $t=30$s induce una transitoriedad en el error de estimación de parámetros, que posteriormente decae a medida que la ley de adaptación se reactiva para seguir la nueva referencia.
• Los estados de error convergen al origen, confirmando las afirmaciones de estabilidad.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma ofrecer un marco de control computacionalmente tratable y teóricamente sólido para aplicaciones críticas para la seguridad (como aeroespacial, vehículos autónomos y robótica) donde se requiere un seguimiento preciso de trayectorias a pesar de las incertidumbres del modelo y las limitaciones físicas estrictas en los actuadores. El significado principal radica en superar la dificultad de garantizar el cumplimiento de restricciones y el rendimiento en presencia tanto de incertidumbre paramétrica como de restricciones en la tasa de entrada, una combinación que hace inaplicables los argumentos estándar de factibilidad recursiva. El trabajo afirma que, al utilizar sistemáticamente parámetros estimados y reformular el problema del MPC con un endurecimiento de restricciones apropiado, es posible lograr un seguimiento robusto de trayectorias con restricciones, garantizando la estabilidad y la factibilidad recursiva.