Adaptive MPC for Constrained Trajectory Tracking of Uncertain LTI System with Input-Rate Limits

기술 요약: 입력 속도 제한이 있는 불확실한 LTI 시스템의 제약 궤적 추적을 위한 적응형 MPC

문제 정의
본 논문은 경계된 매개변수 불확실성을 가진 이산 시간 선형 시불변 (LTI) 시스템의 궤적 추적 문제를 다룬다. 제어 설계는 시스템 상태, 제어 입력, 그리고 결정적으로 입력 속도 (증분) 에 대한 경성 (hard) 제약을 동시에 만족해야 한다. 모델 예측 제어 (MPC) 는 제약 조건 처리를 위한 표준 프레임워크이지만, 고전적 MPC 는 정확한 플랜트 모델에 의존하는데, 이는 모델링 오차와 매개변수 변화로 인해 종종 이용 불가능하다. 기존 적응형 MPC 접근법은 규제 문제에 초점을 맞추거나 입력 속도 제약을 생략하거나, 완전한 매개변수 불확실성 하에서 입력 속도 제한이 도입하는 시간적 결합을 다루지 못하는 경우가 많다. 구체적인 과제는 시스템 매개변수가 알려지지 않은 상태에서 영 (zero) 추적 오차를 위한 제어 입력을 결정하는 동시에, 입력 속도 제한으로 인해 유발되는 시간 가변 허용 제어 집합이 재귀적 실현 가능성이나 폐루프 안정성을 훼손하지 않도록 보장하는 것이다.

방법론
제안된 솔루션은 시간 가변 기준 궤적에 대한 오차 좌표를 사용하여 궤적 추적 문제를 규제 문제로 변환하는 적응형 MPC 프레임워크이다. 방법론은 다음과 같은 주요 단계를 거친다:

1. 시스템 재형식화: 시스템 동역학을 오차 상태 ($x^e_k = x_k - x^r_k$) 와 오차 입력 ($u^e_k = u_k - u^r_k$) 으로 표현한다. 이 변환은 오차 상태를 원점으로 구동하는 것을 목표로 하는 규제 문제로서 추적 문제를 처리할 수 있게 한다.
2. 간접 적응 법칙: 뭉쳐진 불확실한 매개변수 ($\Theta = [A, B]$) 를 온라인으로 추정하기 위해 투영 기반 경사 하강 적응 법칙이 사용된다. 추정치는 유계성을 보장하기 위해 알려진 매개변수 값의 볼록 껍질 ($\Psi$) 내에 있도록 제약된다.
3. 오차 집합 특성화: 본 논문은 매개변수 적응으로 인한 오차 ($\tilde{x}^e_k$) 와 매개변수 추정치의 변동 ($\Delta \hat{\Theta}$) 을 경계 짓는 집합을 엄밀하게 정의한다. 이러한 집합은 MPC 최적화 문제에서 제약 조건을 강화 (tighten) 하는 데 사용된다.
4. 제약 조건 재형식화: 상태, 입력, 입력 속도 제약 조건은 오차 동역학 영역에서 재형식화된다. 중요한 기여는 연속 제어 입력 간의 시간적 결합을 도입하는 입력 속도 제약 조건을 처리하는 것이다. 허용 제어 집합은 이전 제어 입력에 대한 의존성으로 인해 시간 가변적이지만, 볼록 다면체 (convex polytope) 로 남아 있음이 보인다.
5. 강인한 MPC 형식화: 제어 입력은 안정화 상태 피드백 항 ($Kx^e_k$) 과 자유 최적화 변수 ($v^e_k$) 로 분해된다. MPC 최적화 문제는 현재 매개변수 추정에 기반한 명목 예측 모델을 사용하여 수립된다. 추정 오차에 대한 강인성을 보장하기 위해, 명목 예측 상태에 대한 제약 조건은 계산된 오차 집합 ($Z^\Theta_i$ 및 $Z^{\tilde{x}^e}$) 을 빼서 강화된다.
6. 안정성 및 실현 가능성 분석:
   • 재귀적 실현 가능성: 본 논문은 허용 제어 집합의 시간 가변성에도 불구하고 최적화 문제가 재귀적으로 실현 가능함을 확립한다. 이는 입력 속도 제약의 이동을 고려하여 현재 단계의 최적 해를 기반으로 다음 시간 단계에서 실현 가능한 후보 해를 구성함으로써 증명된다.
   • 폐루프 안정성: 리아푸노프 기반 분석을 사용하여 폐루프 시스템이 유계이며 추적 오차가 점근적으로 0 으로 수렴함을 증명한다. 분석은 매개변수 추정 오차의 유계성과 모델 불일치로 인한 외란 항을 고려한다.

주요 기여

• 추적을 위한 체계적 적응형 MPC: 규제 또는 부분 제약에 초점을 맞춘 이전 작업과 달리, 본 작업은 완전한 매개변수 불확실성 하에서 제약 궤적 추적을 위한 체계적인 솔루션을 제공한다.
• 입력 속도 제약 조건 처리: 본 논문은 연속 제어 입력을 결합하고 시간 가변 허용 집합을 생성하는 입력 속도 제약 조건이 도입하는 복잡성을 명시적으로 다룬다. 이 특정 맥락에서 재귀적 실현 가능성을 유지하는 방법을 시연한다.
• 엄밀한 실현 가능성 및 안정성 증명: 저자들은 불확실성과 시간 가변 제약 조건이 존재함에도 불구하고 재귀적 실현 가능성과 폐루프 안정성 (추적 오차의 수렴 및 물리적 상태의 유계성) 에 대한 엄밀한 수학적 증명을 제공한다.
• 제약 조건 강화 전략: 이 방법은 적응적으로 추정된 매개변수와 유도된 오차 경계를 활용하여 최적화 루틴에서 제약 조건을 강화함으로써 실제 시스템 상태가 원래 물리적 제약을 만족하도록 보장한다.

시뮬레이션 결과
제안된 프레임워크의 유효성은 불확실한 매개변수를 가진 2 차 이산 시간 플랜트에 대한 시뮬레이션을 통해 검증되었다. 시스템은 상태 ($\|x\|_\infty \leq 2.25$), 입력 ($\|u\|_\infty \leq 3$), 입력 속도 ($\|\Delta u\|_\infty \leq 2.5$) 에 대한 제약을 준수하면서 시간 가변 기준 궤적을 추적하도록 임무가 부여되었다.

• 시뮬레이션은 시스템 상태가 지정된 경계 내에 머무르면서 성공적으로 기준 궤적을 추적함을 보여준다.
• 제어 입력 및 그 속도는 시뮬레이션 전체에 걸쳐 부과된 제약을 만족한다.
• 매개변수 추정 오차가 유계로 유지됨이 보인다. 주목할 만한 관찰은 $t=30$s 에서 기준 궤적의 급격한 변화가 매개변수 추정 오차에 과도 현상을 유발하며, 이는 적응 법칙이 새로운 기준을 추적하기 위해 재개됨에 따라 이후 감쇠한다는 것이다.
• 오차 상태가 원점으로 수렴하여 안정성 주장을 확인한다.

의의 및 주장
본 논문은 모델 불확실성과 작동기에 대한 엄격한 물리적 제한에도 불구하고 정확한 궤적 추적이 필요한 항공 우주, 자율 주행 차량, 로봇 공학과 같은 안전-중요 (safety-critical) 응용 분야를 위해 계산적으로 실행 가능하고 이론적으로 건전한 제어 프레임워크를 제공한다고 주장한다. 주요 의의는 매개변수 불확실성과 입력 속도 제약 조건이 공존하는 상황에서 제약 조건 만족과 성능을 보장하는 어려움을 극복하는 데 있으며, 이는 표준 재귀적 실현 가능성 논증을 적용 불가능하게 만드는 조합이다. 본 작업은 추정된 매개변수를 체계적으로 활용하고 적절한 제약 조건 강화를 통해 MPC 문제를 재형식화함으로써, 보장된 안정성과 재귀적 실현 가능성을 갖춘 강인한 제약 궤적 추적을 달성할 수 있다고 주장한다.