Adaptive MPC for Constrained Trajectory Tracking of Uncertain LTI System with Input-Rate Limits

技術的概要：入力レート制限を有する不確実な LTI システムの制約付き軌道追跡のための適応 MPC

問題定義
本論文は、有界なパラメータ不確実性を受ける離散時間線形時不変（LTI）システムに対する軌道追跡問題を取り扱う。制御設計は、システム状態、制御入力、そして決定的に重要な入力レート（増分）に対するハード制約を同時に満たさなければならない。モデル予測制御（MPC）は制約処理のための標準的な枠組みであるが、古典的な MPC は正確なプラントモデルに依存しており、これはモデリング誤差やパラメータ変動によりしばしば利用不可能となる。既存の適応 MPC 手法は、多くの場合、調節問題に焦点を当て、入力レート制約を無視するか、または完全なパラメータ不確実性下での入力レート制限によって導入される時間的結合に対処できていない。具体的な課題は、システムパラメータが未知である場合にゼロ追跡誤差に必要な制御入力を決定しつつ、入力レート制約によって誘起される時間変化する許容制御集合が、再帰的実現可能性や閉ループ安定性を損なわないことを保証することにある。

手法
提案される解決策は、時間変化する参照軌道に対する誤差座標を用いて軌道追跡問題を調節問題に変換する適応 MPC 枠組みである。手法は以下の主要なステップを経て進行する。

1. システム再定式化: システムダイナミクスは、誤差状態（$x^e_k = x_k - x^r_k$）および誤差入力（$u^e_k = u_k - u^r_k$）の観点で表現される。この変換により、追跡問題は誤差状態を原点に駆動することを目的とする調節問題として扱うことができる。
2. 間接適応則: 束ねられた不確実パラメータ（$\Theta = [A, B]$）をオンラインで推定するために、射影ベースの勾配降下適応則が採用される。推定値は、有界性を保証するために既知のパラメータ値の凸包（$\Psi$）内に収まるように制約される。
3. 誤差集合の特性定義: 本論文は、パラメータ適応によって誘起される誤差（$\tilde{x}^e_k$）およびパラメータ推定値の変動（$\Delta \hat{\Theta}$）を束縛する集合を厳密に定義する。これらの集合は、MPC 最適化問題における制約を厳格化するために用いられる。
4. 制約の再定式化: 状態、入力、および入力レート制約は、誤差ダイナミクス領域において再定式化される。重要な貢献は、連続する制御入力間の時間的結合を導入する入力レート制約の処理にある。許容制御集合は、前の制御入力への依存性により時間変化するものであることが示されるが、凸多面体として残る。
5. ロバスト MPC 定式化: 制御入力は、安定化状態フィードバック項（$Kx^e_k$）と自由な最適化変数（$v^e_k$）に分解される。MPC 最適化問題は、現在のパラメータ推定値に基づく名义予測モデルを用いて定式化される。推定誤差に対するロバスト性を保証するため、名义予測状態に対する制約は、計算された誤差集合（$Z^\Theta_i$ および $Z^{\tilde{x}^e}$）を減算することで厳格化される。
6. 安定性と実現可能性の解析:
   • 再帰的実現可能性: 本論文は、許容制御集合の時間変化する性質にもかかわらず、最適化問題が再帰的に実現可能であることを確立する。これは、入力レート制約のシフトを考慮して、現在のステップの最適解に基づき次の時間ステップにおける実現可能な候補解を構築することによって証明される。
   • 閉ループ安定性: リアプノフベースの解析を用いて、閉ループシステムが有界であり、追跡誤差が漸近的にゼロに収束することを証明する。この解析は、パラメータ推定誤差の有界性とモデル不整合に起因する擾乱項を考慮している。

主要な貢献

• 追跡のための体系的な適応 MPC: 調節または部分的な制約に焦点を当てた先行研究とは異なり、本作業は完全なパラメータ不確実性下における制約付き軌道追跡のための体系的な解決策を提供する。
• 入力レート制約の処理: 本論文は、連続する制御入力を結合し、時間変化する許容集合を作成する入力レート制約によって導入される複雑さを明示的に取り扱う。この特定の文脈において再帰的実現可能性を維持する方法を実証する。
• 厳密な実現可能性および安定性の証明: 著者らは、不確実性と時間変化する制約の存在下において、再帰的実現可能性および閉ループ安定性（追跡誤差の収束と物理状態の有界性）の両方に対する厳密な数学的証明を提供する。
• 制約厳格化戦略: この手法は、適応的に推定されたパラメータと導出された誤差境界を利用して、最適化ルーチン内の制約を厳格化し、実際のシステム状態が元の物理的制約を満たすことを保証する。

シミュレーション結果
提案された枠組みの有効性は、不確実なパラメータを持つ二次離散時間プラントのシミュレーションを通じて検証される。システムは、状態（$\|x\|_\infty \leq 2.25$）、入力（$\|u\|_\infty \leq 3$）、および入力レート（$\|\Delta u\|_\infty \leq 2.5$）に対する制約を遵守しながら、時間変化する参照軌道を追跡するよう課される。

• シミュレーションは、システム状態が指定された境界内に留まりながら参照軌道に成功裏に追跡することを示している。
• 制御入力およびそのレートは、シミュレーション全体を通じて課された制約を満たす。
• パラメータ推定誤差が有界に留まることが示される。注目すべき観察として、$t=30$s における参照軌道の急激な変化がパラメータ推定誤差に過渡応答を誘起し、その後、適応則が新しい参照を追跡するために再作動するにつれて減衰することがある。
• 誤差状態は原点に収束し、安定性の主張を確認する。

意義と主張
本論文は、モデル不確実性とアクチュエータの厳格な物理的制限が存在するにもかかわらず正確な軌道追跡が要求される、航空宇宙、自律車両、ロボット工学などの安全クリティカルなアプリケーションに対して、計算的に実行可能かつ理論的に堅牢な制御枠組みを提供すると主張する。主な意義は、パラメータ不確実性と入力レート制約の両方の存在下で制約満足と性能を保証する難しさを克服することにある。この組み合わせは、標準的な再帰的実現可能性の議論を適用不可能にする。本作業は、推定されたパラメータを体系的に利用し、適切な制約厳格化を伴って MPC 問題を再定式化することにより、保証された安定性と再帰的実現可能性を伴うロバストな制約付き軌道追跡を達成可能であると主張する。