Discontinuity at the fixed point in suprametric spaces

Resumen Técnico: Discontinuidad en el Punto Fijo en Espacios Supramétricos

Planteamiento del Problema y Motivación
El artículo aborda la existencia y unicidad de puntos fijos para aplicaciones de un conjunto en sí mismo en espacios supramétricos completos, una generalización de los espacios métricos introducida por Berzig. Una motivación central de este trabajo es el problema abierto planteado por B. E. Rhoades (1988): ¿Existe una definición contractiva lo suficientemente fuerte para generar un punto fijo pero que no fuerce a la aplicación a ser continua en el punto fijo?

Mientras que los teoremas clásicos de punto fijo (por ejemplo, Banach–Picard–Caccioppoli) a menudo requieren continuidad, y los resultados de Istrătescu sobre contracciones convexas de orden 2 también dependen de la continuidad global, este artículo investiga si condiciones más débiles —específicamente la $k$-continuidad o la semicontinuidad inferior orbital— son suficientes para garantizar un punto fijo en el contexto de los espacios supramétricos. Los autores buscan generalizar resultados existentes sobre contracciones convexas y cuasi-contracciones (Sehgal, ´Ciri´c y Fisher) a este marco más amplio, resolviendo al mismo tiempo el problema de la continuidad planteado por Rhoades.

Metodología y Marco Teórico
Los autores operan dentro del marco de los espacios supramétricos $(X, d)$, definidos por una función que satisface la simetría, la identidad de los indiscernibles y una desigualdad triangular modificada:
$$d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) + \rho d(x, z)d(z, y)$$
para alguna constante $\rho \geq 0$.

La metodología implica:

1. Generalización de Condiciones Contractivas: Extender las definiciones de contracciones convexas de orden $m$ y cuasi-contracciones (incluyendo las de ´Ciri´c y Fisher) al entorno supramétrico.
2. Relajación de las Hipótesis de Continuidad: Reemplazar el requisito de continuidad global con condiciones más débiles:
   • $k$-continuidad: Una aplicación $T$ es $k$-continua si $T^{k-1}x_n \to z$ implica $T^k x_n \to Tz$.
   • Semicontinuidad inferior $T$-orbital: La función de desplazamiento $D(x) = d(x, Tx)$ es semicontinua inferiormente a lo largo de la órbita de un punto.
   • Condición (C): Una condición específica que relaciona la convergencia de una sucesión y su desplazamiento con la propiedad de punto fijo.
3. Análisis Iterativo: Utilizar iteraciones de Picard ($x_n = T^n x_0$) y establecer cotas en iterados sucesivos para probar la propiedad de Cauchy de la sucesión. Las demostraciones a menudo implican transformar la desigualdad supramétrica en una forma compatible con técnicas estándar de espacios métricos (por ejemplo, utilizando transformaciones logarítmicas o métricas equivalentes) para establecer la convergencia.

Contribuciones y Resultados Clave

1. Teorema de Punto Fijo para Contracciones Convexas de Orden $m$:
   El artículo establece el Teorema 2.1, demostrando que una aplicación de un conjunto en sí mismo $T$ en un espacio supramétrico completo que satisface una condición de contracción convexa de orden $m$ (donde $d(T^m x, T^m y) \leq \sum_{i=0}^{m-1} a_i d(T^i x, T^i y)$ con $\sum a_i < 1$) posee un punto fijo único. Crucialmente, el teorema se cumple si $T$ satisface cualquiera de las siguientes condiciones:

   • $T$ es $k$-continua.
   • La función de desplazamiento $D(x)$ es $T$-orbitalmente semicontinua inferiormente.
   • $T$ satisface la condición (C).
     Este resultado generaliza el teorema de Istrătescu para orden 2 y lo extiende al orden $m$ en espacios supramétricos.

2. Resolución del Problema Abierto de Rhoades:
   Los autores afirman que sus resultados proporcionan una "solución nueva y distinta" al problema abierto de Rhoades. Al demostrar que las contracciones convexas de orden $m$ generan puntos fijos únicos sin requerir continuidad en el punto fijo (confiando en cambio en las condiciones más débiles enumeradas anteriormente), confirman la existencia de tales definiciones contractivas.

3. Generalización de Cuasi-contracciones:

   • Cuasi-contracción de ´Ciri´c: El Teorema 3.1 generaliza el resultado de ´Ciri´c a espacios supramétricos, demostrando la existencia de un punto fijo único para aplicaciones que satisfacen una desigualdad cuasi-contractiva generalizada que involucra iterados $n(x)$.
   • Resultado de Sehgal: El Teorema 3.2 extiende la generalización de 1969 de Sehgal del principio de contracción a este entorno.
   • Cuasi-contracción de Fisher: El Teorema 4.1 extiende los resultados de Fisher de 1979 que involucran dos enteros fijos $n$ y $m$ y un máximo sobre varios iterados, demostrando nuevamente la unicidad bajo las condiciones de continuidad relajadas.

4. Aplicaciones:
   El artículo aplica los resultados teóricos principales a la existencia y unicidad de soluciones para una ecuación integral de Fredholm de segundo tipo:
   $$f(x) = \int_a^b K(x, t)f(t) dt$$
   Al definir una supramétrica específica en el espacio de funciones continuas $C[a, b]$, los autores muestran que el operador integral satisface la condición de contracción convexa de orden 2, garantizando así una solución única sin requerir que el operador sea continuo en el punto fijo en el sentido tradicional (aunque es continuo de Lipschitz, satisfaciendo la condición de $k$-continuidad).

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que la clase de contracciones convexas de orden $m$ es "lo suficientemente fuerte" para generar puntos fijos en espacios supramétricos completos, al mismo tiempo que es "lo suficientemente débil" para permitir la discontinuidad en el punto fijo. Esta distinción se presenta como un avance significativo sobre resultados anteriores que exigían continuidad global. Los autores proporcionan ejemplos específicos (incluyendo conjuntos finitos y funciones basadas en intervalos) para demostrar que sus condiciones se satisfacen en casos donde los teoremas clásicos de espacios métricos (como aquellos que requieren estrictamente propiedades métricas o continuidad) fallarían o serían inaplicables. La obra conecta eficazmente la brecha entre las contracciones convexas de Istrătescu y el problema abierto de Rhoades dentro de la topología generalizada de los espacios supramétricos.