Discontinuity at the fixed point in suprametric spaces

Résumé technique : Discontinuité au point fixe dans les espaces supramétriques

Énoncé du problème et motivation
L'article traite de l'existence et de l'unicité des points fixes pour des applications d'un ensemble dans lui-même sur des espaces supramétriques complets, une généralisation des espaces métriques introduite par Berzig. Une motivation centrale de ce travail est le problème ouvert posé par B. E. Rhoades (1988) : Existe-t-il une définition contractive suffisamment forte pour générer un point fixe, mais qui n'impose pas la continuité de l'application au point fixe ?

Alors que les théorèmes classiques de point fixe (par exemple, Banach–Picard–Caccioppoli) exigent souvent la continuité, et que les résultats d'Istrătescu sur les contractions convexes d'ordre 2 reposent également sur la continuité globale, cet article examine si des conditions plus faibles — spécifiquement la $k$-continuité ou la semi-continuité inférieure orbitale — suffisent à garantir un point fixe dans le contexte des espaces supramétriques. Les auteurs visent à généraliser les résultats existants concernant les contractions convexes et les quasi-contractions (Sehgal, ´Ciri´c et Fisher) à ce cadre plus large tout en résolvant la question de la continuité soulevée par Rhoades.

Méthodologie et cadre
Les auteurs opèrent dans le cadre des espaces supramétriques $(X, d)$, définis par une fonction satisfaisant la symétrie, l'identité des indiscernables et une inégalité triangulaire modifiée :
$$d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) + \rho d(x, z)d(z, y)$$
pour une certaine constante $\rho \geq 0$.

La méthodologie comprend :

1. Généralisation des conditions contractives : Extension des définitions des contractions convexes d'ordre $m$ et des quasi-contractions (incluant celles de ´Ciri´c et Fisher) au cadre supramétrique.
2. Assouplissement des hypothèses de continuité : Remplacement de l'exigence de continuité globale par des conditions plus faibles :
   • $k$-continuité : Une application $T$ est $k$-continue si $T^{k-1}x_n \to z$ implique $T^k x_n \to Tz$.
   • Semi-continuité inférieure orbitale $T$ : La fonction de déplacement $D(x) = d(x, Tx)$ est semi-continue inférieurement le long de l'orbite d'un point.
   • Condition (C) : Une condition spécifique reliant la convergence d'une suite et son déplacement à la propriété de point fixe.
3. Analyse itérative : Utilisation des itérations de Picard ($x_n = T^n x_0$) et établissement de bornes sur les itérés successifs pour prouver la propriété de Cauchy de la suite. Les preuves impliquent souvent de transformer l'inégalité supramétrique en une forme compatible avec les techniques standard des espaces métriques (par exemple, en utilisant des transformations logarithmiques ou des métriques équivalentes) pour établir la convergence.

Contributions et résultats clés

1. Théorème de point fixe pour les contractions convexes d'ordre $m$ :
   L'article établit le Théorème 2.1, prouvant qu'une application $T$ d'un espace supramétrique complet dans lui-même, satisfaisant une condition de contraction convexe d'ordre $m$ (où $d(T^m x, T^m y) \leq \sum_{i=0}^{m-1} a_i d(T^i x, T^i y)$ avec $\sum a_i < 1$), possède un point fixe unique. Crucialement, le théorème s'applique si $T$ satisfait l'une quelconque des conditions suivantes :

   • $T$ est $k$-continue.
   • La fonction de déplacement $D(x)$ est semi-continue inférieurement orbitalement $T$.
   • $T$ satisfait la condition (C).
     Ce résultat généralise le théorème d'Istrătescu pour l'ordre 2 et l'étend à l'ordre $m$ dans les espaces supramétriques.

2. Résolution du problème ouvert de Rhoades :
   Les auteurs affirment que leurs résultats fournissent une « nouvelle et distincte solution » au problème ouvert de Rhoades. En démontrant que les contractions convexes d'ordre $m$ génèrent des points fixes uniques sans exiger la continuité au point fixe (s'appuyant plutôt sur les conditions plus faibles énumérées ci-dessus), ils confirment l'existence de telles définitions contractives.

3. Généralisation des quasi-contractions :

   • Quasi-contraction de ´Ciri´c : Le Théorème 3.1 généralise le résultat de ´Ciri´c aux espaces supramétriques, prouvant l'existence d'un point fixe unique pour les applications satisfaisant une inégalité de quasi-contraction généralisée impliquant des itérés $n(x)$.
   • Résultat de Sehgal : Le Théorème 3.2 étend la généralisation de 1969 par Sehgal du principe de contraction à ce cadre.
   • Quasi-contraction de Fisher : Le Théorème 4.1 étend les résultats de Fisher de 1979 impliquant deux entiers fixes $n$ et $m$ et un maximum sur divers itérés, prouvant à nouveau l'unicité sous les conditions de continuité assouplies.

4. Applications :
   L'article applique les résultats théoriques principaux à l'existence et à l'unicité des solutions d'une équation intégrale de Fredholm de deuxième espèce :
   $$f(x) = \int_a^b K(x, t)f(t) dt$$
   En définissant une supramétrique spécifique sur l'espace des fonctions continues $C[a, b]$, les auteurs montrent que l'opérateur intégral satisfait la condition de contraction convexe d'ordre 2, garantissant ainsi une solution unique sans exiger que l'opérateur soit continu au point fixe au sens traditionnel (bien qu'il soit lipschitzien, satisfaisant la condition de $k$-continuité).

Signification et affirmations
L'article affirme que la classe des contractions convexes d'ordre $m$ est « suffisamment forte » pour générer des points fixes dans les espaces supramétriques complets tout en étant « suffisamment faible » pour permettre la discontinuité au point fixe. Cette distinction est présentée comme une avancée significative par rapport aux résultats antérieurs qui nécessitaient une continuité globale. Les auteurs fournissent des exemples spécifiques (incluant des ensembles finis et des fonctions basées sur des intervalles) pour démontrer que leurs conditions sont satisfaites dans des cas où les théorèmes classiques des espaces métriques (comme ceux exigeant strictement les propriétés métriques ou la continuité) échoueraient ou seraient inapplicables. Ce travail comble efficacement le fossé entre les contractions convexes d'Istrătescu et le problème ouvert de Rhoades au sein de la topologie généralisée des espaces supramétriques.