Brik's sequence: a strange recursion

Resumen Técnico: La Secuencia de Brik: Una Recursión Extraña

Enunciado del Problema
Este artículo investiga las propiedades de una secuencia de palabras binarias $(B_i)_{i \ge 1}$ y la secuencia binaria infinita resultante $b$, generadas por una iteración recursiva específica propuesta por Garo Brik en 2018. La secuencia se define mediante el caso base $B_1 = 101$ y la relación de recurrencia $B_{i+1} = B_i C_i$ para $i \ge 1$, donde $C_i$ es el sufijo de $B_i$ obtenido al eliminar sus primeros $i$ símbolos. Dado que $B_{i-1}$ es un prefijo de $B_i$ para todo $i \ge 2$, estas palabras convergen a una única secuencia infinita $b$. El artículo busca caracterizar las propiedades combinatorias y aritméticas de $b$, incluyendo su recurrencia, complejidad de factores, naturaleza morfica y la densidad del símbolo '1'.

Metodología
El análisis emplea una combinación de pruebas inductivas, argumentos combinatorios sobre factores de palabras y técnicas de teoría analítica de números.

• Análisis Estructural: Los autores establecen la longitud de las palabras $B_i$ y sus propiedades de sufijo mediante inducción trivial. Utilizan el concepto de "bordes" (prefijos que también son sufijos) para demostrar que índices específicos son "buenos", lo que significa que $B_i$ es un borde de $B_{\ell_i}$.
• Recurrencia y Complejidad: El artículo analiza la ocurrencia de factores dentro de $b$ para determinar propiedades de recurrencia. Caracteriza el conjunto de todos los factores válidos identificando las subcadenas prohibidas.
• Análisis de Crecimiento: Las posiciones iniciales de patrones específicos (específicamente, series de $1$'s) se rastrean utilizando una relación de recurrencia, con tasas de crecimiento analizadas mediante la notación de tetraición de Knuth.
• Cálculo de Densidad: La densidad de $1$'s se deriva analizando el número de $1$'s en prefijos de longitud $\ell_n = |B_n|$. Los autores derivan una fórmula límite que involucra la expansión binaria de la propia secuencia y utilizan el análisis del término de error ($E(N)$) para extender el límite desde prefijos específicos hasta prefijos arbitrarios.
• Prueba de Trascendencia: Para determinar la naturaleza del límite de densidad $\alpha$, el artículo aplica una versión simplificada del criterio de "tartamudeo" de Adamczewski y Bugeaud, que relaciona la estructura de repetición de una secuencia con la trascendencia del número formado por su expansión binaria.

Contribuciones y Resultados Clave

1. Propiedades de Recurrencia:

   • Se demuestra que la palabra infinita $b$ es recurrente (cada factor finito aparece infinitas veces) pero no uniformemente recurrente.
   • El artículo demuestra que $b$ contiene series de $1$'s arbitrariamente largas ($1^n$ para todo $n$), lo que excluye la recurrencia uniforme. La posición inicial $r_n$ de la primera ocurrencia de $1^n$ sigue la recurrencia $r_{n+1} = 2^{r_{n-2}} + r_n$ para $n \ge 2$, lo que conduce a un crecimiento extremadamente rápido (tetraición).

2. Complejidad de Factores:

   • Se proporciona una caracterización completa de los factores de $b$: una palabra binaria es un factor de $b$ si y solo si no contiene dos $0$'s consecutivos.
   • En consecuencia, el número de factores distintos de longitud $n$ es exactamente $F_{n+2}$ (el $(n+2)$-ésimo número de Fibonacci). Esto establece que $b$ tiene complejidad de factores exponencial.

3. Naturaleza No Morfica:

   • Basándose en la complejidad de factores exponencial, el artículo concluye que $b$ no es morfica. Esto se deriva del resultado de Ehrenfeucht, Lee y Rozenberg, que establece que las secuencias morficas deben tener complejidad de factores polinómica (específicamente $O(n^2)$).

4. Densidad de 1's:

   • El artículo demuestra que la densidad asintótica de $1$'s en $b$, denotada $\alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{a(n)}{n}$, existe.
   • El valor viene dado por la fórmula $\alpha = 2 - 2\sum_{i \ge 1} b_i 2^{-i}$, donde $b_i$ es el $i$-ésimo bit de la secuencia.
   • El valor numérico es aproximadamente $0.64505878493452$.

5. Trascendencia:

   • Se demuestra que la densidad $\alpha$ es trascendente. La prueba se basa en demostrar que el número asociado $\beta = \sum b_i 2^{-i}$ es trascendente utilizando el criterio de tartamudeo. Dado que $\beta$ no puede ser racional (lo que implicaría complejidad de factores acotada), y la secuencia exhibe la estructura requerida de "tartamudeo" ($B_{n+1}$ contiene $B_n$ seguido de una repetición de un sufijo), $\beta$ (y por tanto $\alpha$) debe ser trascendente.

Significado y Afirmaciones
El artículo presenta una secuencia que, aunque definida por una regla iterativa simple, exhibe propiedades sutiles y complejas no inmediatamente aparentes. El significado principal radica en el descubrimiento de una secuencia que es recurrente pero no uniformemente recurrente, posee complejidad de factores exponencial y genera una densidad trascendente de $1$'s. Los autores señalan que la secuencia aparece en la OEIS (como A334820, faltando el término inicial) y destacan la interacción entre la definición recursiva y las propiedades aritméticas resultantes.

El artículo reconoce explícitamente que estos resultados se obtuvieron mediante experimentación con APL y colaboración con ChatGPT 5.5 en mayo de 2026, con todas las afirmaciones posteriormente reescritas y verificadas por el autor. La obra sirve como un estudio de caso sobre las propiedades de las palabras binarias definidas recursivamente y la aplicación de criterios de trascendencia a secuencias combinatorias.