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Brik's sequence: a strange recursion

Cet article examine les propriétés de la suite binaire infinie dite suite de Brik, démontrant qu'elle est récurrente mais pas uniformément récurrente, possède une complexité factorielle exponentielle, n'est pas morphique et présente une densité transcendantale de 1.

Auteurs originaux : Jeffrey Shallit

Publié 2026-05-11

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Jeffrey Shallit

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous construisez une histoire sans fin, mais que vous devez suivre une règle très étrange et récursive pour écrire chaque nouveau chapitre. C'est l'histoire de la « suite de Brik », une curiosité mathématique découverte par un étudiant nommé Garo Brik et analysée par le professeur Jeffrey Shallit.

Voici une explication simple de ce que dit l'article, en utilisant des analogies du quotidien.

La Règle du Raconteur d'Histoires

Imaginez que vous avez une phrase, appelons-la B1 : « 101 ».
Pour écrire le chapitre suivant (B2), vous prenez la phrase actuelle et vous y ajoutez une version « découpée » d'elle-même.

La Règle : Pour obtenir la version suivante, prenez la version actuelle, coupez les premières lettres (en nombre égal au numéro du chapitre), et collez ce morceau coupé à la fin.
Exemple :
- Chapitre 1 : « 101 » (Longueur 3).
- Chapitre 2 : Prenez « 101 », coupez la première lettre (« 1 »), il reste « 01 ». Collez « 01 » à la fin. Résultat : « 10101 ».
- Chapitre 3 : Prenez « 10101 », coupez les deux premières lettres (« 10 »), il reste « 101 ». Collez « 101 » à la fin. Résultat : « 10101101 ».
- Chapitre 4 : Prenez le résultat précédent, coupez les trois premières lettres, collez le reste à la fin.

Si vous continuez cela indéfiniment, vous obtenez une chaîne infinie de 1 et de 0. L'article étudie les propriétés cachées de cette chaîne infinie.

Les Grandes Découvertes

1. Le Motif « Récurrent » mais « Imprévisible »
L'article découvre que cette histoire infinie est récurrente. Cela signifie que si vous trouvez n'importe quelle petite phrase (comme « 1011 ») n'importe où dans l'histoire, cette même phrase réapparaîtra encore et encore plus tard. Vous ne manquerez jamais d'endroits où la trouver.

Cependant, elle n'est pas uniformément récurrente. Pensez-y comme à une chanson où une note spécifique se répète, mais où l'intervalle entre les répétitions devient de plus en plus long — si long que vous pourriez attendre un million d'années avant la prochaine occurrence. Les écarts entre les répétitions grandissent si vite qu'ils deviennent presque infinis.

2. La Règle « Pas de Double-Zéro »
La caractéristique la plus frappante de cette suite est une règle stricte : Vous ne pouvez jamais trouver deux zéros côte à côte (« 00 »).

L'article prouve que toute combinaison de 1 et de 0 qui ne contient pas « 00 » finira par apparaître dans l'histoire.
Si vous essayez d'écrire une phrase avec « 00 », elle ne peut tout simplement pas exister dans cette suite. C'est comme un univers où les lois de la physique interdisent à deux trous noirs de se toucher.

3. La Croissance « Explosive » de « 111... »
L'article examine combien de temps il faut pour voir une chaîne de 1 uniquement (comme « 11 », « 111 », « 1111 »).

« 1 » apparaît immédiatement.
« 11 » apparaît un peu plus tard.
« 111 » apparaît beaucoup plus tard.
« 1111 » apparaît beaucoup plus tard.

L'article calcule que la position où ces chaînes apparaissent croît à une vitesse terrifiante, décrite par un concept mathématique appelé « tétration » (exponentiation itérée). Ce n'est pas juste une croissance rapide ; c'est une croissance si rapide que le nombre de chiffres dans la position elle-même devient un nombre ayant plus de chiffres qu'il n'y a d'atomes dans l'univers.

4. La Complexité « Mosaïque »
Parce que la suite évite « 00 » mais contient tout le reste, le nombre de motifs uniques d'une certaine longueur suit la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8...).
L'article conclut que cette suite n'est pas « morphique ». En termes simples, cela signifie que vous ne pouvez pas générer cette histoire infinie en utilisant un ensemble simple et répétitif d'instructions (comme un programme informatique qui dirait simplement « remplacez chaque 1 par 10 et chaque 0 par 01 »). Les règles sont trop subtiles et complexes pour cela ; cela nécessite une logique plus intriquée et autoréférentielle.

5. Le « Nombre d'Or » des 1
Enfin, les auteurs se sont demandé : « Si nous regardons toute l'histoire infinie, quel pourcentage des caractères sont des 1 ? »

Ils ont prouvé que ce pourcentage se stabilise à un nombre spécifique (environ 64,5 %).
Plus surprenant encore, ils ont prouvé que ce pourcentage spécifique est un nombre transcendant. Cela signifie que c'est un nombre qui ne peut pas être la solution d'une équation algébrique simple (comme la racine carrée de 2 ou Pi). C'est un nombre avec un niveau de « bizarrerie mathématique » qui est rare et profond.

L'Essentiel

L'article prend un jeu simple qui semble être du « couper-coller » avec des nombres binaires et montre qu'il crée une structure qui est :

Pleine de motifs répétitifs, mais avec des écarts qui s'étendent à l'infini.
Strictement interdite d'avoir « 00 ».
Trop complexe pour être générée par des règles simples.
Régie par une densité de 1 qui est un nombre mathématiquement « sauvage ».

C'est un rappel que même les règles les plus simples, lorsqu'elles sont appliquées de manière récursive, peuvent créer des structures d'une profondeur et d'une surprise infinies.

Résumé technique : La séquence de Brik : une récursion étrange

Énoncé du problème
Ce papier examine les propriétés d'une séquence de mots binaires $(B_i)_{i \ge 1}$ et de la séquence binaire infinie résultante $b$ , générées par une itération récursive spécifique proposée par Garo Brik en 2018. La séquence est définie par le cas de base $B_1 = 101$ et la relation de récurrence $B_{i+1} = B_i C_i$ pour $i \ge 1$ , où $C_i$ est le suffixe de $B_i$ obtenu en supprimant ses $i$ premiers symboles. Puisque $B_{i-1}$ est un préfixe de $B_i$ pour tout $i \ge 2$ , ces mots convergent vers une séquence infinie unique $b$ . Le papier vise à caractériser les propriétés combinatoires et arithmétiques de $b$ , notamment sa récurrence, sa complexité factorielle, sa nature morphique et la densité du symbole '1'.

Méthodologie
L'analyse emploie une combinaison de preuves par récurrence, d'arguments combinatoires sur les facteurs de mots et de techniques de théorie analytique des nombres.

Analyse structurelle : Les auteurs établissent la longueur des mots $B_i$ et leurs propriétés de suffixe par une récurrence triviale. Ils utilisent le concept de « bords » (préfixes qui sont aussi des suffixes) pour prouver que certains indices sont « bons », ce qui signifie que $B_i$ est un bord de $B_{\ell_i}$ .
Récurrence et complexité : Le papier analyse l'occurrence des facteurs au sein de $b$ pour déterminer les propriétés de récurrence. Il caractérise l'ensemble de tous les facteurs valides en identifiant les sous-chaînes interdites.
Analyse de la croissance : Les positions de départ de motifs spécifiques (spécifiquement des suites de $1$) sont suivies à l'aide d'une relation de récurrence, avec des taux de croissance analysés en utilisant la notation de tétration de Knuth.
Calcul de la densité : La densité de $1$ est dérivée en analysant le nombre de $1$ dans les préfixes de longueur $\ell_n = |B_n|$ . Les auteurs déduisent une formule limite impliquant le développement binaire de la séquence elle-même et utilisent l'analyse du terme d'erreur ( $E(N)$ ) pour étendre la limite de préfixes spécifiques à des préfixes arbitraires.
Preuve de transcendance : Pour déterminer la nature de la limite de densité $\alpha$ , le papier applique une version simplifiée du critère de « bégaiement » d'Adamczewski et Bugeaud, qui relie la structure de répétition d'une séquence à la transcendance du nombre formé par son développement binaire.

Contributions et résultats clés

Propriétés de récurrence :
- Il est prouvé que le mot infini $b$ est récurent (chaque facteur fini apparaît infiniment souvent) mais non uniformément récurent.
- Le papier démontre que $b$ contient des suites de $1$ arbitrairement longues ( $1^n$ pour tout $n$ ), ce qui exclut la récurrence uniforme. La position de départ $r_n$ de la première occurrence de $1^n$ suit la récurrence $r_{n+1} = 2^{r_{n-2}} + r_n$ pour $n \ge 2$ , conduisant à une croissance extrêmement rapide (tétration).
Complexité factorielle :
- Une caractérisation complète des facteurs de $b$ est fournie : un mot binaire est un facteur de $b$ si et seulement s'il ne contient pas deux $0$ consécutifs.
- Par conséquent, le nombre de facteurs distincts de longueur $n$ est exactement $F_{n+2}$ (le $(n+2)$ -ième nombre de Fibonacci). Cela établit que $b$ possède une complexité factorielle exponentielle.
Nature non morphique :
- Sur la base de la complexité factorielle exponentielle, le papier conclut que $b$ n'est pas morphique. Cela découle du résultat d'Ehrenfeucht, Lee et Rozenberg, qui stipule que les séquences morphiques doivent avoir une complexité factorielle polynomiale (spécifiquement $O(n^2)$ ).
Densité de 1 :
- Le papier prouve que la densité asymptotique de $1$ dans $b$ , notée $\alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{a(n)}{n}$ , existe.
- La valeur est donnée par la formule $\alpha = 2 - 2\sum_{i \ge 1} b_i 2^{-i}$ , où $b_i$ est le $i$ -ième bit de la séquence.
- La valeur numérique est approximativement $0,64505878493452$.
Transcendance :
- La densité $\alpha$ est prouvée transcendante. La preuve repose sur la démonstration que le nombre associé $\beta = \sum b_i 2^{-i}$ est transcendant en utilisant le critère de bégaiement. Puisque $\beta$ ne peut pas être rationnel (ce qui impliquerait une complexité factorielle bornée), et que la séquence présente la structure de « bégaiement » requise ( $B_{n+1}$ contient $B_n$ suivi d'une répétition d'un suffixe), $\beta$ (et donc $\alpha$ ) doit être transcendant.

Signification et affirmations
Le papier présente une séquence qui, bien que définie par une règle itérative simple, exhibe des propriétés subtiles et complexes non immédiatement apparentes. La signification principale réside dans la découverte d'une séquence qui est récurente mais non uniformément récurente, possède une complexité factorielle exponentielle et génère une densité transcendante de $1$. Les auteurs notent que la séquence apparaît dans l'OEIS (sous la référence A334820, avec le terme initial manquant) et soulignent l'interaction entre la définition récursive et les propriétés arithmétiques résultantes.

Le papier reconnaît explicitement que ces résultats ont été obtenus par expérimentation avec APL et en collaboration avec ChatGPT 5.5 en mai 2026, toutes les affirmations ayant été par la suite réécrites et vérifiées par l'auteur. L'ouvrage sert d'étude de cas sur les propriétés des mots binaires définis récursivement et sur l'application des critères de transcendance aux séquences combinatoires.

La Règle du Raconteur d'Histoires

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