Local height arguments toward the dynamical Mordell-Lang conjecture

Resumen Técnico: Argumentos de Altura Local hacia la Conjetura de Mordell–Lang Dinámica

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la Conjetura de Mordell–Lang Dinámica (DML) para endomorfismos regulares del espacio afín complejo $\mathbb{A}^N_{\mathbb{C}}$. La conjetura DML postula que, para un endomorfismo $f$ de una variedad cuasi-proyectiva $X$, el conjunto de retorno $\{n \in \mathbb{N} \mid f^n(x) \in V\}$ de un punto $x$ hacia una subvariedad cerrada $V$ es una unión finita de progresiones aritméticas. Aunque la conjetura es conocida para casos específicos (por ejemplo, endomorfismos étale o en $\mathbb{A}^2$), este trabajo se centra en el caso donde $V$ es una curva (la propiedad DML(1)) para una clase específica de endomorfismos regulares con una "brecha de grado".

Los autores consideran endomorfismos regulares $f: \mathbb{A}^N \to \mathbb{A}^N$ que se extienden a $\mathbb{P}^N$. Tales aplicaciones son de la forma $f(x) = (f_1+g_1, \dots, f_N+g_N)$, donde $f_i$ son polinomios homogéneos de grado $d$ sin ceros comunes, y $g_i$ son polinomios de grado $\le d-k$. El entero $k$ es la "brecha de grado". El comportamiento de la aplicación inducida $f_\infty$ en el hiperplano en el infinito $H_\infty$ es crucial. El problema central es determinar bajo qué condiciones sobre $k$ y la ramificación de $f_\infty$ se cumple la propiedad DML(1) y caracterizar las curvas periódicas.

Metodología
Los autores emplean un "argumento de altura local", una técnica distinta de los argumentos de altura global utilizados en trabajos anteriores (por ejemplo, de Ghioca, Tucker y Xie) que dependen de que el sistema esté "polarizado" de una manera que permite dos velocidades de crecimiento distintas. Dado que los sistemas estudiados aquí están polarizados, el argumento de altura global falla. En su lugar, los autores utilizan:

1. Teoría de Arakelov para Campos de Funciones Aritméticos: Para trabajar sobre $\mathbb{C}$, los autores descienden a un campo de funciones aritmético $K$ (una extensión finitamente generada de $\mathbb{Q}$) donde están definidos todos los datos. Utilizan la teoría de Arakelov desarrollada por Vojta y Moriwaki, que proporciona una fórmula de producto y un espacio de medida de valores absolutos $M_K$.
2. Alturas Locales (Funciones de Weil): Definen funciones de Weil $\lambda_P$ para puntos y $\lambda_{H_\infty}$ para el hiperplano en el infinito sobre el conjunto de lugares $S$. Estas funciones miden la proximidad de los puntos a subvariedades específicas.
3. Teorema de Roth: Una herramienta central es el teorema de Roth sobre campos de funciones aritméticos (establecido por Vojta). Los autores lo utilizan para controlar la distribución de puntos en curvas. Específicamente, demuestran que si una curva es "suficientemente vertical" (lo que significa que los puntos en la curva se aproximan al hiperplano en el infinito de una manera específica en relación con su proyección), la curva debe ser una línea recta.
4. Propiedad de Finitud de Northcott: Esto se utiliza para establecer la finitud de los puntos periódicos con altura acotada, asegurando que las órbitas inversas de los puntos en el infinito sean conjuntos finitos de puntos periódicos.
5. Desigualdad Triangular e Iteración: La prueba implica construir una secuencia de pre-imágenes de la curva $C$ (denotada $C_{-n}$) y demostrar que, bajo la condición de brecha de grado, estas curvas se vuelven cada vez más "verticales" en sus puntos de intersección con $H_\infty$.

Contribuciones y Resultados Clave

• Teorema Principal (Teorema 1.3): Sea $f$ un endomorfismo regular de $\mathbb{A}^N$ con brecha de grado $k$. Si $C$ es una subcurva cerrada irreducible con una intersección infinita con una órbita de $f$, y si $k > 2 \max_{P \in I_0} e_{f_\infty}(P)$ (donde $I_0$ es la órbita directa de los puntos de intersección $C \cap H_\infty$ y $e_{f_\infty}(P)$ es la multiplicidad de $f_\infty$ en $P$), entonces:

  1. La intersección $C \cap H_\infty$ consiste en 1 o 2 puntos, que son periódicos bajo $f_\infty$.
  2. $C$ es una "línea vertical" (una línea recta que pasa por el origen).

• Propiedad DML(1) (Teorema 1.7): Bajo la misma condición ($k > 2 \max_{P \in \text{Per}(f_\infty)} e_{f_\infty}(P)$), la aplicación $f$ satisface la propiedad DML(1). Además, toda curva $f$-periódica irreducible es una línea vertical.

• Existencia de Ejemplos (Proposición 1.6): Los autores demuestran que, para un endomorfismo general $f_\infty$ de $H_\infty \cong \mathbb{P}^{N-1}$ de grado $d$, la multiplicidad máxima está acotada por $(N-1)! \cdot 2^{N-1}$. En consecuencia, si la brecha de grado $k$ se elige como $(N-1)! \cdot 2^N + 1$, la condición para el teorema principal se satisface para $f_\infty$ general.

• Optimalidad (Ejemplo 1.8): El artículo proporciona ejemplos que demuestran que la condición $k > 2 \max e_{f_\infty}(P)$ es óptima. Específicamente, si la desigualdad se relaja a $\ge$, existen curvas invariantes que no son líneas verticales.

• Caracterización de Curvas Periódicas: Como subproducto, los autores caracterizan completamente las curvas periódicas para tales aplicaciones: son estrictamente líneas verticales. Si la unión de estas líneas es densa en la topología de Zariski, los términos de grado inferior $g_i$ deben anularse.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma avanzar en la comprensión de la conjetura DML en dimensiones superiores mediante la introducción de un "argumento de altura local" adaptado a sistemas polarizados con una brecha de grado visible. El significado radica en:

1. Ruptura de la Isotropía: La condición sobre la brecha de grado y la ramificación se interpreta como un mecanismo para "romper la isotropía" del sistema, permitiendo a los autores encontrar dos velocidades diferentes de crecimiento de la altura local, lo cual es necesario para aplicar el teorema de Roth.
2. Clasificación Completa: A diferencia de trabajos anteriores que podrían solo establecer la propiedad DML, este enfoque permite la determinación explícita de todas las curvas periódicas (identificándolas como líneas verticales) como consecuencia directa de la prueba.
3. Optimalidad: Los autores abordan explícitamente la agudeza de sus condiciones, mostrando que la desigualdad estricta es necesaria para forzar la rigidez geométrica de las curvas periódicas.
4. Limitaciones en Característica Positiva: El artículo señala que su método depende en gran medida del teorema de Siegel y del teorema de Roth, los cuales no se cumplen en la misma forma en característica positiva. Proporcionan un contraejemplo en característica positiva donde las curvas invariantes no son líneas verticales, sugiriendo que se requieren nuevos métodos para ese contexto.

El trabajo se presenta como un sucesor de los argumentos anteriores basados en alturas (específicamente haciendo referencia a [XYb]), pero adaptado a las restricciones específicas de los endomorfismos regulares con brechas de grado, utilizando el entorno de campos de funciones aritméticos para manejar el caso complejo.