Local height arguments toward the dynamical Mordell-Lang conjecture

技術的概要：複素アフィン空間における動的モルデル・ラング予想への局所高さ論法

問題提起
本論文は、複素アフィン空間 $\mathbb{A}^N_{\mathbb{C}}$ の正則自己写像に対する動的モルデル・ラング（DML）予想を調査する。DML 予想は、準射影多様体 $X$ の自己写像 $f$ に対して、点 $x$ が閉部分多様体 $V$ に戻る集合 $\{n \in \mathbb{N} \mid f^n(x) \in V\}$ が、有限個の算術級数の和集合であることを主張する。この予想は特定のケース（例えば、エタール自己写像や $\mathbb{A}^2$）では既知であるが、本研究は「次数ギャップ」を持つ特定のクラスの正則自己写像について、$V$ が曲線である場合（DML(1) 性質）に焦点を当てる。

著者は、$\mathbb{P}^N$ に拡張される正則自己写像 $f: \mathbb{A}^N \to \mathbb{A}^N$ を考察する。このような写像は $f(x) = (f_1+g_1, \dots, f_N+g_N)$ の形を持ち、ここで $f_i$ は共通零点を持たない $d$ 次斉次多項式であり、$g_i$ は次数が $\le d-k$ の多項式である。整数 $k$ を「次数ギャップ」と呼ぶ。無限遠超平面 $H_\infty$ 上の誘導写像 $f_\infty$ の振る舞いが決定的に重要である。中心的な問題は、$k$ と $f_\infty$ の分岐に関するどのような条件下で DML(1) 性質が成り立ち、かつ周期的曲線を特徴づけることができるかを決定することである。

手法
著者は「局所高さ論法」を採用する。これは、システムが「偏極」されていることを利用して 2 つの異なる成長速度を可能にする、Ghioca、Tucker、Xie による先行研究で用いられた「大域的高さ論法」とは異なる手法である。ここで研究されているシステムは偏極しているため、大域的高さ論法は機能しない。その代わり、著者は以下の手法を用いる：

1. 算術関数体におけるアラケロフ理論：$\mathbb{C}$ 上で作業するために、著者はすべてのデータが定義される算術関数体 $K$（$\mathbb{Q}$ の有限生成拡大）へと降下する。Vojta と Moriwaki によって開発されたアラケロフ理論を利用し、積公式と絶対値の測度空間 $M_K$ を提供する。
2. 局所高さ（ウェール関数）：点に対して $\lambda_P$ を、無限遠超平面に対して $S$ 上の場所の集合において $\lambda_{H_\infty}$ をウェール関数として定義する。これらの関数は、点と特定の部分多様体との近接度を測定する。
3. ロスの定理：中心的な道具は、算術関数体におけるロス定理（Vojta によって確立された）である。著者はこれを用いて曲線上の点の分布を制御する。具体的には、曲線が「十分に垂直的」である（すなわち、曲線上の点が、その射影に対する無限遠超平面への接近の仕方が特定の様式である）場合、その曲線は直線でなければならないことを証明する。
4. ノースコットの有限性性質：有界高さを持つ周期点の有限性を確立するために用いられ、無限遠の点の後退軌道が有限個の周期点の集合であることを保証する。
5. 三角不等式と反復：証明には、曲線 $C$ の原像の列（$C_{-n}$ と表記）を構成し、次数ギャップ条件の下で、これらの曲線が $H_\infty$ との交点において次第に「垂直的」になることを示すことが含まれる。

主要な貢献と結果

• 主要定理（定理 1.3）：$f$ を次数ギャップ $k$ を持つ $\mathbb{A}^N$ の正則自己写像とする。$C$ が $f$ の軌道と無限に交わる既約閉曲線であり、かつ $k > 2 \max_{P \in I_0} e_{f_\infty}(P)$ （ここで $I_0$ は交点 $C \cap H_\infty$ の前方軌道であり、$e_{f_\infty}(P)$ は $P$ における $f_\infty$ の重複度）であれば、以下のことが成り立つ：

  1. 交わり $C \cap H_\infty$ は 1 点または 2 点からなり、これらは $f_\infty$ に対して周期的である。
  2. $C$ は「垂直線」（原点を通る直線）である。

• DML(1) 性質（定理 1.7）：同じ条件（$k > 2 \max_{P \in \text{Per}(f_\infty)} e_{f_\infty}(P)$）の下で、写像 $f$ は DML(1) 性質を満たす。さらに、すべての既約な $f$-周期曲線は垂直線である。

• 例の存在（命題 1.6）：著者は、$H_\infty \cong \mathbb{P}^{N-1}$ の一般の $d$ 次自己写像 $f_\infty$ に対して、最大重複度は $(N-1)! \cdot 2^{N-1}$ によって有界であることを証明する。その結果、次数ギャップ $k$ を $(N-1)! \cdot 2^N + 1$ として選べば、主要定理の条件は一般的な $f_\infty$ に対して満たされる。

• 最適性（例 1.8）：本論文は、条件 $k > 2 \max e_{f_\infty}(P)$ が最適であることを示す例を提供する。具体的には、不等式を $\ge$ に緩和すると、垂直線ではない不変曲線が存在する。

• 周期曲線の特徴づけ：副産物として、著者はそのような写像に対する周期曲線を完全に特徴づける：それらは厳密に垂直線である。これらの線の和集合がザリスキ稠密であれば、低次項 $g_i$ は消滅しなければならない。

意義と主張
本論文は、可視的な次数ギャップを持つ偏極システムに特化した「局所高さ論法」を導入することで、高次元における DML 予想の理解を進展させると主張している。その意義は以下の点にある：

1. 等方性の打破：次数ギャップと分岐に関する条件は、システムの「等方性を打破する」メカニズムとして解釈される。これにより、著者はロス定理を適用するために必要な 2 つの異なる局所高さ成長速度を見出すことができる。
2. 完全な分類：DML 性質のみを確立する先行研究とは異なり、このアプローチは証明の直接的な帰結として、すべての周期曲線（それらを垂直線として特定する）の明示的な決定を可能にする。
3. 最適性：著者は条件の鋭さに明確に言及し、厳密な不等式が周期曲線の幾何学的剛性を強制するために必要であることを示している。
4. 正標数における限界：本論文は、その手法がシエーラーの定理とロス定理に強く依存しており、これらは正標数では同様の形で成り立たないことを指摘している。正標数において不変曲線が垂直線ではない反例を提供し、その設定には新たな手法が必要であることを示唆している。

この研究は、以前の高さに基づく論法（特に [XYb] を参照）の続編として提示されているが、次数ギャップを持つ正則自己写像の特定の制約に適応され、複素の場合を処理するために算術関数体の設定を利用している。