Data-driven approximation of regions of attraction via an LP-based selection of PWA Lyapunov functions

Resumen Técnico: Aproximación Basada en Datos de las Regiones de Atracción mediante Selección de Funciones de Lyapunov PWA Basada en Programación Lineal

Formulación del Problema
El artículo aborda el desafío de certificar la estabilidad y aproximar la Región de Atracción (RoA) para sistemas dinámicos no lineales con campos vectoriales desconocidos, $\dot{x} = f(x)$. El análisis de estabilidad tradicional depende de modelos matemáticos explícitos, los cuales a menudo no están disponibles para sistemas no lineales complejos. Si bien existen métodos basados en datos, muchos (como los enfoques basados en redes neuronales) carecen de garantías explícitas de robustez, y otros (como los de Suma de Cuadrados) dependen de supuestos estructurales que pueden limitar su aplicabilidad totalmente basada en datos.

El objetivo es construir una RoA certificada utilizando únicamente evaluaciones puntuales del campo vectorial (datos) y cotas de continuidad de Lipschitz conocidas. El problema asume:

1. Un equilibrio único localmente asintóticamente estable (tomado como el origen).
2. El campo vectorial $f$ es continuo de Lipschitz con una cota superior conocida componente a componente $M$.
3. Está disponible un conjunto de datos $D_{N_d} = \{(x_i, f_i)\}$ obtenido de simulaciones o mediciones.
4. Existe un pequeño conjunto poliédrico seguro $A$ que contiene el equilibrio.

Metodología
El marco propuesto procede en tres etapas principales: caracterización de la incertidumbre, teselación del espacio de estados y síntesis de candidatos de Lyapunov mediante Programación Lineal (LP).

1. Construcción del Conjunto de Incertidumbre:
   Basándose en el supuesto de continuidad de Lipschitz y en los datos disponibles, los autores construyen un conjunto de incertidumbre poliédrico $F_{D_{N_d}}$ que representa todos los campos vectoriales admisibles consistentes con los datos.

   • Para cada punto de datos $(x_i, f_i)$, la restricción de Lipschitz $|f(x) - f_i| \leq M\|x - x_i\|_\infty$ define un conjunto de valores admisibles.
   • Esta restricción se reformula como una unión de conos poliédricos en $\mathbb{R}^{n+1}$ (estado y valor del campo vectorial).
   • El conjunto global de incertidumbre es la intersección de estos conjuntos sobre todos los puntos de datos.
   • Crucialmente, para cualquier estado $x$, el conjunto de valores admisibles del campo vectorial $F(x)$ forma un hipercaja (un producto cartesiano de intervalos). Este mapa de conjuntos permite describir la dinámica del sistema como una inclusión diferencial $\dot{x} \in F(x)$.

2. Teselación del Espacio de Estados y Candidato PWA:
   El espacio de estados $X$ se divide en una teselación poliédrica $\{Y_j\}$. Los vértices de esta teselación se derivan de las proyecciones de los vértices del gráfico del conjunto de incertidumbre $F(x)$ sobre el espacio de estados. Esto asegura que la partición se alinee con la estructura geométrica de la incertidumbre.
   Se define un candidato continuo de Lyapunov por partes afines (PWA) $V(x)$ sobre esta partición:
   $$V(x) = a_j^T x + b_j, \quad \forall x \in Y_j$$
   Los coeficientes $(a_j, b_j)$ son las variables de decisión que deben determinarse.

3. Síntesis Basada en LP:
   Los autores formulan un Programa Lineal (LP) para seleccionar los coeficientes $(a_j, b_j)$ de modo que $V(x)$ satisfaga las condiciones de Lyapunov para todas las dinámicas admisibles en $F(x)$.

   • Positividad y Continuidad: Se imponen mediante restricciones lineales en los vértices de la teselación y a lo largo de los límites de las celdas.
   • Condición de Decrecimiento: La condición $\nabla V(x)^T f(x) < 0$ debe cumplirse para todo $f(x) \in F(x)$. Dado que $F(x)$ es un hipercaja convexo, su máximo se alcanza en sus vértices. Por lo tanto, la condición se impone únicamente en el conjunto finito de vértices $F_v(x)$ del hipercaja.
   • Relajación: Se introducen variables de holgura para manejar la factibilidad (por ejemplo, cerca del equilibrio o donde los datos son insuficientes), permitiendo un proceso de refinamiento iterativo.

4. Algoritmo Iterativo:
   Se propone un algoritmo iterativo (Algoritmo 1):

   • Construir el conjunto de incertidumbre y extraer los vértices.
   • Resolver el LP.
   • Si la condición de decrecimiento de Lyapunov no se satisface (indicada por variables de holgura no negativas) o si el conjunto de incertidumbre contiene cero (indicando datos insuficientes), se añaden nuevos puntos de datos en los vértices problemáticos.
   • El proceso se repite hasta que se certifica una RoA válida o se alcanzan los límites de iteración.

Contribuciones Clave

• Modelado Explícito de la Incertidumbre: El artículo proporciona un método riguroso para construir un conjunto de incertidumbre poliédrico a partir de datos dispersos y cotas de Lipschitz, convirtiendo las dinámicas desconocidas en una inclusión diferencial tratable.
• Certificación Basada en LP: A diferencia de métodos alternativos que dependen de Programación Cónica de Segundo Orden (SOCP) o redes neuronales, este enfoque formula la certificación de estabilidad como un Programa Lineal. Esto se logra explotando la estructura de hipercaja del conjunto de incertidumbre y evaluando las condiciones únicamente en sus vértices.
• Separación de Preocupaciones: La metodología desacopla la caracterización de la incertidumbre de la síntesis de Lyapunov. Este enfoque de dos etapas mejora la interpretabilidad y permite un refinamiento iterativo basado en la informatividad de los datos.
• Extracción Certificada de RoA: El método garantiza que el conjunto de nivel subyacente de la función PWA resultante, restringido a la componente conexa que contiene el equilibrio, es una Región de Atracción válida consistente con los datos.

Resultados Numéricos
El método se validó en dos ejemplos: un péndulo amortiguado simple y un oscilador de Van der Pol de tiempo invertido.

• Péndulo Amortiguado: El algoritmo convergió en 4 iteraciones, extrayendo con éxito una RoA certificada que coincidió con la forma de la RoA real. El tiempo de optimización fue insignificante en comparación con el tiempo de procesamiento de datos requerido para calcular las cotas de incertidumbre.
• Oscilador de Van der Pol: El método convergió en 3 iteraciones. Si bien se identificó con éxito la RoA certificada, los resultados destacaron que la condición de decrecimiento de Lyapunov no se satisfizo globalmente (algunas variables de holgura permanecieron no negativas fuera de la región certificada), demostrando la capacidad del método para proporcionar cotas conservadoras y certificadas incluso cuando la estabilidad global no puede probarse a partir de los datos disponibles.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que su contribución principal es un marco totalmente basado en datos y tratable para la certificación de estabilidad que evita la naturaleza de "caja negra" de las redes neuronales y los supuestos estructurales de los métodos polinómicos. Al combinar conjuntos de incertidumbre explícitos con funciones de Lyapunov PWA, el enfoque ofrece:

1. Robustez: Las garantías se mantienen para todas las dinámicas consistentes con los datos y las cotas de Lipschitz, no solo para los puntos muestreados.
2. Tractabilidad Computacional: El uso de LP hace que el problema sea escalable en comparación con las formulaciones SOCP.
3. Interpretabilidad: La separación del modelado de incertidumbre y la selección de Lyapunov proporciona un proceso de certificación claro y paso a paso.

Los autores posicionan este trabajo como un puente entre el control robusto teórico (inclusiones diferenciales) y el control moderno basado en datos, ofreciendo una herramienta práctica para extraer propiedades de estabilidad certificadas a partir de datos dispersos sin requerir un modelo paramétrico del sistema.