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Data-driven approximation of regions of attraction via an LP-based selection of PWA Lyapunov functions

本文提出一种数据驱动方法，该方法从逐点向量场评估和 Lipschitz 界构建多面体不确定性集，并通过线性规划合成连续分段仿射 Lyapunov 函数，从而为未知非线性动力系统认证一个吸引域。

原作者： Oumayma Khattabi, Matteo Tacchi-Bénard, Martin Gulan, Sorin Olaru

发布于 2026-05-20

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原作者： Oumayma Khattabi, Matteo Tacchi-Bénard, Martin Gulan, Sorin Olaru

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象你正在试图弄清楚一台神秘且不可见的机器是如何运作的。你无法看到它的齿轮，也无法阅读其手册（数学模型未知），但你可以从不同位置“戳”它，并观察它的反应。你的目标是在机器的中心周围画出一个安全的“围栏”。如果你从这个围栏内的任何位置开始，机器最终会稳定在中心；如果你从围栏外开始，它可能会飞入混沌。

本文提出了一种巧妙的、数据驱动的方法，无需知晓机器内部蓝图即可画出该围栏。

以下是作者实现这一目标的具体步骤，分解为简单环节：

1. 可能性的“模糊”地图

首先，研究人员在几个特定点（数据点）“戳”了机器。他们知道机器并非疯狂无序，而是遵循一种称为**利普希茨连续性（Lipschitz continuity）**的规则。这可以理解为机器行为变化速度的“限速”。如果你移动手指一点点，机器的反应不能剧烈跳跃；它只能发生有限的变化。

利用这些少量的“戳点”和“限速”，作者构建了一个多面体不确定性集。

类比：想象你在黑暗的房间裡通过触摸几个点来猜测隐藏物体的形状。你知道该物体是平滑的，没有尖锐且不可能的尖刺。基于你的触摸，你画出了一个“云团”，包含了该物体可能呈现的所有形状。这个云团不是单一形状，而是一个模糊的、多面的盒子，其中包含了所有符合你数据的机器版本。

2. “分段”安全网

接下来，他们需要证明如果机器位于其围栏内，它总是会稳定下来。为此，他们构建了一个李雅普诺夫函数（Lyapunov function）。

类比：将李雅普诺夫函数想象成一片丘陵与山谷的地形。机器的中心位于山谷底部。“安全围栏”则是该地图上的一条特定等高线。规则是：无论你在地图上的何处，机器必须始终“向下”滚向中心。它绝不能向上滚或保持平坦。

作者使用了一个**分段仿射（PWA）**函数。

类比：与其试图绘制一条平滑完美的曲线（在未知机器时这很难），他们不如用平坦的三角形瓦片（像马赛克地板一样）来构建这片地形。每一块瓦片都是一个简单的平坦斜坡。通过将这些平坦瓦片拼接在一起，他们可以近似任何形状的山丘或山谷。

3. “检查清单”（线性规划）

现在到了神奇的一步。他们拥有一个机器行为的模糊云团和一个由斜坡组成的马赛克地板。他们需要确保无论实际是哪种版本的机器（只要它符合模糊云团内的条件），它都会始终向下滚动。

检查每一个单一的可能性是不可能的。因此，他们使用了一种名为**线性规划（Linear Programming, LP）**的数学捷径。

类比：想象你有一个装着不同球（代表可能的机器行为）的篮子。与其测试每一个球看它是否会滚下你的马赛克地板，你只需要测试篮子的角点。如果角点能滚下坡，那么篮子里的所有东西也都能。
计算机求解一个巨大的检查清单（线性规划），调整平坦瓦片的角度，直到模糊云团的“角点”被保证会滚向中心。

4. 结果：认证的安全区

如果计算机找到了一组可行的瓦片，它就会画出“围栏”（吸引域）。

主张：本文声称，如果你从这个围栏内开始，机器就保证是安全且稳定的，尽管研究人员从未见过完整的机器模型。他们仅利用收集到的少量数据点和“限速”规则证明了这一点。

5. 迭代优化（“学习”循环）

有时，第一次尝试会失败。也许模糊云团太宽，或者机器在某个特定位置过于不可预测。

类比：如果计算机说“我无法保证这里的安全”，算法就会返回并在该特定棘手位置再次“戳”机器以获取更多数据。然后，它重新绘制模糊云团，并尝试再次构建马赛克地板。它会不断重复这一过程，直到找到一个坚实且经过认证的围栏。

总结

简而言之，本文是关于从稀疏数据中构建安全保证。

戳未知系统以获取数据。
基于这些数据，绘制所有可能行为的模糊云团。
构建一个马赛克地板（PWA 函数），迫使系统滚向中心。
使用检查清单（线性规划）来证明云团内的每一个系统版本都将遵循规则。
输出一个经过认证的安全区，在该区域内系统保证稳定。

作者在一个摆动的钟摆和一个复杂的振荡器上测试了该方法，表明即使数据非常少，他们也能在系统的稳定点周围画出一个经过数学证明的“安全区”。

技术摘要：基于线性规划选择分段仿射李雅普诺夫函数的数据驱动吸引域近似

问题表述
本文解决了针对具有未知向量场 $\dot{x} = f(x)$ 的非线性动力学系统，认证其稳定性并近似吸引域（RoA）的挑战。传统的稳定性分析依赖于显式数学模型，而这些模型对于复杂的非线性系统往往不可用。虽然存在数据驱动方法，但许多方法（如基于神经网络的方法）缺乏明确的鲁棒性保证，而其他方法（如求和平方和）则依赖于可能限制完全数据驱动适用性的结构假设。

目标是仅利用向量场的逐点评估（数据）和已知的 Lipschitz 连续性界来构建一个经过认证的 RoA。该问题假设：

存在一个唯一的局部渐近稳定平衡点（取为原点）。
向量场 $f$ 是 Lipschitz 连续的，且具有已知的分量式上界 $M$ 。
可从仿真或测量中获得数据集 $D_{N_d} = \{(x_i, f_i)\}$ 。
存在一个包含平衡点的小的安全多面体集合 $A$ 。

方法论
所提出的框架分为三个主要阶段：不确定性表征、状态空间剖分以及通过线性规划（LP）合成李雅普诺夫候选函数。

不确定性集构建：
基于 Lipschitz 连续性假设和可用数据，作者构建了一个多面体不确定性集 $F_{D_{N_d}}$ ，代表所有与数据一致的容许向量场。
- 对于每个数据点 $(x_i, f_i)$ ，Lipschitz 约束 $|f(x) - f_i| \leq M\|x - x_i\|_\infty$ 定义了一组容许值。
- 该约束被重新表述为 $\mathbb{R}^{n+1}$ （状态和向量场值）中多面体锥的并集。
- 全局不确定性集是这些数据点上所有集合的交集。
- 关键在于，对于任何状态 $x$ ，容许向量场值的集合 $F(x)$ 形成一个超矩形（区间的笛卡尔积）。这种集值映射允许将系统动力学描述为微分包含 $\dot{x} \in F(x)$ 。
状态空间剖分与 PWA 候选函数：
状态空间 $X$ 被划分为多面体剖分 $\{Y_j\}$ 。该剖分的顶点源自不确定性集 $F(x)$ 图形的顶点在状态空间上的投影。这确保了剖分与不确定性几何结构保持一致。
在此剖分上定义了一个连续分段仿射（PWA）李雅普诺夫候选函数 $V(x)$ ：
$V(x) = a_j^T x + b_j, \quad \forall x \in Y_j$
系数 $(a_j, b_j)$ 是待确定的决策变量。
基于 LP 的合成：
作者构建了一个线性规划（LP），用于选择系数 $(a_j, b_j)$ ，使得 $V(x)$ 满足 $F(x)$ 中所有容许动力学的李雅普诺夫条件。
- 正性与连续性： 通过在剖分顶点处及单元边界上施加线性约束来强制执行。
- 递减条件： 条件 $\nabla V(x)^T f(x) < 0$ 必须对所有 $f(x) \in F(x)$ 成立。由于 $F(x)$ 是凸超矩形，其最大值在顶点处取得。因此，该条件仅在超矩形的有限顶点集 $F_v(x)$ 上强制执行。
- 松弛： 引入松弛变量以处理不可行性（例如在平衡点附近或数据不足处），从而允许迭代细化过程。
迭代算法：
提出了一种迭代算法（算法 1）：
- 构建不确定性集并提取顶点。
- 求解 LP。
- 如果李雅普诺夫递减条件未满足（由非负松弛变量指示），或者如果不确定性集包含零（表明数据不足），则在有问题的顶点处添加新数据点。
- 该过程重复进行，直到认证有效的 RoA 或达到迭代限制。

主要贡献

显式不确定性建模： 本文提供了一种从稀疏数据和 Lipschitz 界构建多面体不确定性集的严格方法，将未知动力学转化为可处理的微分包含。
基于 LP 的认证： 与依赖二阶锥规划（SOCP）或神经网络的其他方法不同，该方法将稳定性认证表述为线性规划。这是通过利用不确定性集的超矩形结构并仅在顶点处评估条件来实现的。
关注点分离： 该方法将不确定性表征与李雅普诺夫合成解耦。这种两阶段方法提高了可解释性，并允许基于数据信息量进行迭代细化。
认证 RoA 提取： 该方法保证所得 PWA 函数的次水平集（限制在包含平衡点的连通分量内）是一个与数据一致的有效吸引域。

数值结果
该方法在两个示例上进行了验证：一个简单的阻尼摆和一个倒置时间的范德波尔振荡器。

阻尼摆： 算法在 4 次迭代内收敛，成功提取了一个经过认证的 RoA，其形状与真实 RoA 相匹配。与计算不确定性界所需的数据处理时间相比，优化时间可忽略不计。
范德波尔振荡器： 该方法在 3 次迭代内收敛。虽然成功识别了认证的 RoA，但结果强调李雅普诺夫递减条件并未在全局范围内满足（在认证区域之外，某些松弛变量仍为非负），展示了该方法即使在无法从可用数据证明全局稳定性时，也能提供保守的、经过认证的界的能力。

意义与主张
本文声称其主要贡献是一个可处理的、完全数据驱动的框架，用于稳定性认证，该方法避免了神经网络的“黑盒”性质和多项式方法的结构假设。通过将显式不确定性集与 PWA 李雅普诺夫函数相结合，该方法提供了：

鲁棒性： 保证对所有与数据和 Lipschitz 界一致的动态成立，而不仅仅是对采样点成立。
计算可处理性： 与 SOCP 公式相比，使用 LP 使问题具有可扩展性。
可解释性： 不确定性建模与李雅普诺夫选择的分离提供了一个清晰的、逐步的认证过程。

作者将这项工作定位为理论鲁棒控制（微分包含）与现代数据驱动控制之间的桥梁，提供了一种从稀疏数据中提取经过认证的稳定性属性的实用工具，而无需系统的参数化模型。