Data-driven approximation of regions of attraction via an LP-based selection of PWA Lyapunov functions

Riepilogo Tecnico: Approssimazione guidata dai dati delle Regioni di Attrazione tramite Selezione basata su LP di Funzioni di Lyapunov PWA

Formulazione del Problema
Il lavoro affronta la sfida di certificare la stabilità e approssimare la Regione di Attrazione (RoA) per sistemi dinamici non lineari con campi vettoriali sconosciuti, $\dot{x} = f(x)$. L'analisi di stabilità tradizionale si basa su modelli matematici espliciti, che spesso non sono disponibili per sistemi non lineari complessi. Sebbene esistano metodi guidati dai dati, molti (come gli approcci basati su reti neurali) mancano di garanzie esplicite di robustezza, mentre altri (come i Somma di Quadrati) si basano su assunzioni strutturali che possono limitare l'applicabilità pienamente guidata dai dati.

L'obiettivo è costruire una RoA certificata utilizzando esclusivamente valutazioni punto per punto del campo vettoriale (dati) e limiti noti di continuità di Lipschitz. Il problema assume:

1. Un equilibrio unico localmente asintoticamente stabile (assunto come l'origine).
2. Il campo vettoriale $f$ è continuo secondo Lipschitz con un limite superiore noto componente per componente $M$.
3. È disponibile un dataset $D_{N_d} = \{(x_i, f_i)\}$ proveniente da simulazioni o misurazioni.
4. Esiste un piccolo insieme poliedrico sicuro $A$ contenente l'equilibrio.

Metodologia
Il framework proposto procede in tre fasi principali: caratterizzazione dell'incertezza, tassellazione dello spazio degli stati e sintesi di candidati di Lyapunov tramite Programmazione Lineare (LP).

1. Costruzione dell'Insieme di Incertezza:
   Sulla base dell'assunzione di continuità di Lipschitz e dei dati disponibili, gli autori costruiscono un insieme di incertezza poliedrico $F_{D_{N_d}}$ che rappresenta tutti i campi vettoriali ammissibili coerenti con i dati.

   • Per ogni punto dati $(x_i, f_i)$, il vincolo di Lipschitz $|f(x) - f_i| \leq M\|x - x_i\|_\infty$ definisce un insieme di valori ammissibili.
   • Questo vincolo è riformulato come un'unione di coni poliedrici in $\mathbb{R}^{n+1}$ (stato e valore del campo vettoriale).
   • L'insieme globale di incertezza è l'intersezione di questi insiemi su tutti i punti dati.
   • Crucialmente, per qualsiasi stato $x$, l'insieme dei valori ammissibili del campo vettoriale $F(x)$ forma un iperbox (un prodotto cartesiano di intervalli). Questa mappa a valori insiemistici permette di descrivere la dinamica del sistema come un'inclusione differenziale $\dot{x} \in F(x)$.

2. Tassellazione dello Spazio degli Stati e Candidato PWA:
   Lo spazio degli stati $X$ è partizionato in una tassellazione poliedrica $\{Y_j\}$. I vertici di questa tassellazione sono derivati dalle proiezioni dei vertici del grafico dell'insieme di incertezza $F(x)$ sullo spazio degli stati. Ciò garantisce che la partizione sia allineata con la struttura geometrica dell'incertezza.
   Viene definito un candidato continuo a tratti affine (PWA) di Lyapunov $V(x)$ su questa partizione:
   $$V(x) = a_j^T x + b_j, \quad \forall x \in Y_j$$
   I coefficienti $(a_j, b_j)$ sono le variabili decisionali da determinare.

3. Sintesi basata su LP:
   Gli autori formulano un Programma Lineare (LP) per selezionare i coefficienti $(a_j, b_j)$ in modo che $V(x)$ soddisfi le condizioni di Lyapunov per tutte le dinamiche ammissibili in $F(x)$.

   • Positività e Continuità: Imposte tramite vincoli lineari ai vertici della tassellazione e lungo i bordi delle celle.
   • Condizione di Decrescita: La condizione $\nabla V(x)^T f(x) < 0$ deve valere per ogni $f(x) \in F(x)$. Poiché $F(x)$ è un iperbox convesso, il suo massimo è raggiunto ai suoi vertici. Pertanto, la condizione è imposta solo sull'insieme finito di vertici $F_v(x)$ dell'iperbox.
   • Rilassamento: Vengono introdotte variabili di slack per gestire l'inammissibilità (ad esempio, vicino all'equilibrio o dove i dati sono insufficienti), consentendo un processo di raffinamento iterativo.

4. Algoritmo Iterativo:
   Viene proposto un algoritmo iterativo (Algoritmo 1):

   • Costruire l'insieme di incertezza ed estrarre i vertici.
   • Risolvere l'LP.
   • Se la condizione di decrescita di Lyapunov non è soddisfatta (indicata da variabili di slack non negative) o se l'insieme di incertezza contiene lo zero (indicando dati insufficienti), vengono aggiunti nuovi punti dati ai vertici problematici.
   • Il processo si ripete fino a quando non viene certificata una RoA valida o vengono raggiunti i limiti di iterazione.

Contributi Chiave

• Modellazione Esplicita dell'Incertezza: Il lavoro fornisce un metodo rigoroso per costruire un insieme di incertezza poliedrico da dati sparsi e limiti di Lipschitz, convertendo le dinamiche sconosciute in un'inclusione differenziale trattabile.
• Certificazione basata su LP: A differenza di metodi alternativi che si basano sulla Programmazione a Coni del Secondo Ordine (SOCP) o su reti neurali, questo approccio formula la certificazione di stabilità come un Programma Lineare. Ciò è ottenuto sfruttando la struttura a iperbox dell'insieme di incertezza e valutando le condizioni solo ai suoi vertici.
• Separazione delle Preoccupazioni: La metodologia disaccoppia la caratterizzazione dell'incertezza dalla sintesi di Lyapunov. Questo approccio a due stadi migliora l'interpretabilità e consente un raffinamento iterativo basato sull'informatività dei dati.
• Estrazione Certificata della RoA: Il metodo garantisce che l'insieme di livello inferiore della funzione PWA risultante, limitato alla componente connessa contenente l'equilibrio, sia una valida Regione di Attrazione coerente con i dati.

Risultati Numerici
Il metodo è stato validato su due esempi: un pendolo smorzato semplice e un oscillatore di Van der Pol a tempo invertito.

• Pendolo Smorzato: L'algoritmo ha convergito in 4 iterazioni, estraendo con successo una RoA certificata che corrispondeva alla forma della RoA reale. Il tempo di ottimizzazione è stato trascurabile rispetto al tempo di elaborazione dei dati necessario per calcolare i limiti di incertezza.
• Oscillatore di Van der Pol: Il metodo ha convergito in 3 iterazioni. Sebbene la RoA certificata è stata identificata con successo, i risultati hanno evidenziato che la condizione di decrescita di Lyapunov non era soddisfatta globalmente (alcune variabili di slack rimanevano non negative al di fuori della regione certificata), dimostrando la capacità del metodo di fornire limiti conservativi e certificati anche quando la stabilità globale non può essere provata dai dati disponibili.

Significato e Affermazioni
Il lavoro afferma che il suo contributo principale è un framework trattabile e pienamente guidato dai dati per la certificazione di stabilità che evita la natura "scatola nera" delle reti neurali e le assunzioni strutturali dei metodi polinomiali. Combinando insiemi di incertezza espliciti con funzioni di Lyapunov PWA, l'approccio offre:

1. Robustezza: Le garanzie valgono per tutte le dinamiche coerenti con i dati e i limiti di Lipschitz, non solo per i punti campionati.
2. Trattabilità Computazionale: L'uso dell'LP rende il problema scalabile rispetto alle formulazioni SOCP.
3. Interpretabilità: La separazione della modellazione dell'incertezza e della selezione di Lyapunov fornisce un processo di certificazione chiaro e passo dopo passo.

Gli autori posizionano questo lavoro come un ponte tra il controllo robusto teorico (inclusioni differenziali) e il moderno controllo guidato dai dati, offrendo uno strumento pratico per estrarre proprietà di stabilità certificate da dati sparsi senza richiedere un modello parametrico del sistema.