Closed-Loop Identification of Periodically Time-Varying Systems via Cyclic Reformulation

Resumen Técnico: Identificación en Bucle Cerrado de Sistemas Linealmente Variantes en el Tiempo Periódicamente Mediante Reformulación Cíclica

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda la identificación de sistemas de plantas Linealmente Variantes en el Tiempo Periódicamente (LPTV), específicamente dirigidos a escenarios donde la planta es inestable en bucle abierto. En tales casos, los experimentos en bucle abierto no son prácticamente factibles porque la salida de la planta diverge sin retroalimentación. Los métodos existentes de identificación LPTV, incluidos los enfoques de subespacios y las técnicas basadas en elevación, se formulan principalmente para datos en bucle abierto o asumen estabilidad en bucle abierto. Si bien la identificación en bucle cerrado para plantas inestables Linealmente Invariantes en el Tiempo (LTI) está bien establecida, un marco teórico de realización que recupere explícitamente un modelo de planta LPTV de espacio de estados de dimensión finita directamente desde datos en bucle cerrado ha permanecido subdesarrollado.

Metodología
El marco propuesto integra el enfoque de entrada-salida conjunta con la reformulación cíclica para cerrar la brecha entre los datos en bucle cerrado y la recuperación del modelo LPTV. La metodología procede a través de las siguientes etapas:

1. Formulación del Sistema: El artículo considera una planta LPTV cuadrada y estrictamente propia controlada por un controlador LPTV con un grado relativo de uno. El sistema en bucle cerrado se modela como un sistema LPTV aumentado impulsado por una señal de referencia externa $r(k)$, produciendo salidas conjuntas de la salida de la planta $y(k)$ y la entrada de control $u(k)$.
2. Reformulación Cíclica: El sistema periódico en bucle cerrado se convierte en un sistema Linealmente Invariante en el Tiempo (LTI) equivalente utilizando reformulación cíclica. Esto implica la construcción de señales "cíclicas" donde los vectores de entrada y salida se expanden a una dimensión $M$ veces la original (donde $M$ es el periodo), apilando efectivamente las variaciones periódicas en un único modelo de espacio de estados LTI.
3. Identificación de Subespacios: Se aplican algoritmos estándar de identificación de subespacios (por ejemplo, N4SID) a la señal de referencia cíclica $\check{r}(k)$ y a la salida conjunta cíclica apilada $\check{z}(k) = [\check{y}(k)^\top, \check{u}(k)^\top]^\top$. Esto produce una realización de espacio de estados compartida $(A, B, C)$ para los mapas en bucle cerrado de $\check{r}$ a $\check{y}$ y de $\check{r}$ a $\check{u}$. Crucialmente, ambas funciones de transferencia comparten la misma dinámica de estado $(A, B)$.
4. Extracción Algebraica de la Planta: El núcleo del método es un teorema algebraico exacto que recupera la matriz de transferencia de planta cíclica $\check{P}(z)$ a partir de los mapas en bucle cerrado identificados. Dado que $\check{P}(z) = \check{T}_{yr}(z) \check{T}_{ur}(z)^{-1}$, el artículo deriva una realización de espacio de estados de $\check{P}(z)$ directamente a partir de las matrices compartidas $(A, B, C_y, C_u)$ sin aumento de estado. La extracción depende de la invertibilidad del término de alimentación directa de la trayectoria del controlador ($C_u B$).
5. Recuperación de Parámetros: La realización cíclica extraída se reduce de orden (eliminando la dinámica del controlador mediante truncamiento balanceado) y se transforma de nuevo en los parámetros originales de espacio de estados periódicos $(A_{p,k}, B_{p,k}, C_{p,k}, D_{p,k})$ utilizando una transformación de coordenadas que explota la esparsidad de bloque-diagonal desplazada de los parámetros de Markov.

Contribuciones Clave
El artículo presenta cuatro contribuciones principales:

1. Teorema Algebraico Exacto: Establece un teorema que demuestra que la matriz de transferencia de planta cíclica puede recuperarse a partir de una realización compartida-$A$ de los mapas en bucle cerrado sin aumentar la dimensión del estado, incluso si la realización de planta recuperada es inestable.
2. Cambio de Estabilidad: El marco desplaza el requisito de estabilidad para la generación de datos desde la planta en bucle abierto hacia el sistema en bucle cerrado internamente estable, permitiendo la identificación de plantas LPTV inestables en bucle abierto.
3. Separación Explícita de Suposiciones: El trabajo separa explícitamente las suposiciones requeridas para la generación de datos (estabilidad en bucle cerrado), la identificación (minimalidad del sistema en bucle cerrado cíclico) y la inversión algebraica (no singularidad del término directo de la trayectoria del controlador).
4. Implementación Algorítmica: Proporciona un algoritmo completo de identificación (Algoritmo 1) que combina la identificación de subespacios con los pasos derivados de extracción algebraica y transformación de coordenadas.

Resultados Numéricos
El método se valida mediante tres ejemplos numéricos:

• Planta SISO Estable: Demuestra que el método recupera parámetros con precisión de máquina en condiciones sin ruido y alta precisión (errores de norma de Frobenius $\approx 10^{-6}$) bajo una relación señal-ruido (SNR) de 40 dB.
• Planta SISO Inestable en Bucle Abierto: Confirma la capacidad del método para recuperar una realización de planta inestable (con valores propios fuera del círculo unitario) a partir de datos estables en bucle cerrado. La realización extraída refleja correctamente los valores propios monodromos inestables, y la extracción algebraica permanece válida a pesar de la inestabilidad.
• Planta MIMO: Valida el enfoque para un sistema de Múltiples Entradas y Múltiples Salidas, mostrando que el marco escala a dimensiones más altas y mantiene una precisión invariante a las coordenadas mediante comparaciones de parámetros de Markov.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que este trabajo llena una brecha específica en la teoría de identificación de sistemas: la falta de una ruta teórica de realización para recuperar modelos LPTV de espacio de estados de dimensión finita a partir de datos en bucle cerrado, particularmente para plantas inestables. El significado radica en la naturaleza algebraica exacta de la extracción de la planta, la cual no depende de optimización iterativa ni de suposiciones de estabilidad sobre la planta en sí misma. El método se distingue de:

• Identificación en bucle cerrado LTI: Explotando la estructura periódica mediante reformulación cíclica.
• Identificación LPV: Abordando la periodicidad temporal en lugar de señales de programación externas.
• Identificación LPTV en bucle abierto: Eliminando el requisito previo de estabilidad en bucle abierto.
• Métodos de frecuencia elevados: Dirigidos a modelos de espacio de estados de dimensión finita en lugar de respuestas en frecuencia no paramétricas.

Los autores señalan que la fiabilidad del paso de extracción está gobernada por el acondicionamiento de la inversa de la trayectoria del controlador ($C_u B$) y que el método asume una planta cuadrada y estrictamente propia y un controlador con grado relativo uno. Se sugiere trabajo futuro para abordar plantas no cuadradas y casos no estrictamente propios.