Closed-Loop Identification of Periodically Time-Varying Systems via Cyclic Reformulation

Resumo Técnico: Identificação em Malha Fechada de Sistemas Linearmente Variáveis no Tempo Periodicamente via Reformulação Cíclica

Declaração do Problema
Este artigo aborda a identificação de sistemas de plantas Linearmente Variáveis no Tempo Periodicamente (LPTV), visando especificamente cenários onde a planta é instável em malha aberta. Nestes casos, experimentos em malha aberta não são praticamente viáveis porque a saída da planta diverge sem realimentação. Os métodos existentes de identificação LPTV, incluindo abordagens de subespaço e técnicas baseadas em elevação, são formulados principalmente para dados em malha aberta ou assumem estabilidade em malha aberta. Embora a identificação em malha fechada para plantas instáveis Linearmente Invariantes no Tempo (LTI) seja bem estabelecida, uma estrutura teórica de realização que recupere explicitamente um modelo de planta LPTV de espaço de estados de dimensão finita diretamente a partir de dados em malha fechada permaneceu subdesenvolvida.

Metodologia
O framework proposto integra a abordagem de entrada-saída conjunta com a reformulação cíclica para preencher a lacuna entre dados em malha fechada e a recuperação de modelos LPTV. A metodologia procede através das seguintes etapas:

1. Formulação do Sistema: O artigo considera uma planta LPTV quadrada e estritamente própria controlada por um controlador LPTV com grau relativo de um. O sistema em malha fechada é modelado como um sistema LPTV aumentado, acionado por um sinal de referência externo $r(k)$, produzindo saídas conjuntas da saída da planta $y(k)$ e da entrada de controle $u(k)$.
2. Reformulação Cíclica: O sistema periódico em malha fechada é convertido em um sistema Linearmente Invariante no Tempo (LTI) equivalente usando reformulação cíclica. Isso envolve a construção de sinais "ciclicados" onde os vetores de entrada e saída são expandidos para uma dimensão $M$ vezes a original (onde $M$ é o período), efetivamente empilhando as variações periódicas em um único modelo de espaço de estados LTI.
3. Identificação por Subespaço: Algoritmos padrão de identificação por subespaço (por exemplo, N4SID) são aplicados ao sinal de referência ciclicado $\check{r}(k)$ e à saída conjunta ciclicada empilhada $\check{z}(k) = [\check{y}(k)^\top, \check{u}(k)^\top]^\top$. Isso produz uma realização de espaço de estados compartilhada $(A, B, C)$ para os mapas em malha fechada de $\check{r}$ para $\check{y}$ e de $\check{r}$ para $\check{u}$. Crucialmente, ambas as funções de transferência compartilham a mesma dinâmica de estado $(A, B)$.
4. Extração Algébrica da Planta: O núcleo do método é um teorema algébrico exato que recupera a matriz de transferência da planta ciclicada $\check{P}(z)$ a partir dos mapas em malha fechada identificados. Como $\check{P}(z) = \check{T}_{yr}(z) \check{T}_{ur}(z)^{-1}$, o artigo deriva uma realização de espaço de estados de $\check{P}(z)$ diretamente a partir das matrizes compartilhadas $(A, B, C_y, C_u)$ sem aumento de estado. A extração depende da invertibilidade do termo de passagem direta do caminho do controlador ($C_u B$).
5. Recuperação de Parâmetros: A realização ciclicada extraída é reduzida em ordem (removendo a dinâmica do controlador via truncamento balanceado) e transformada de volta para os parâmetros originais de espaço de estados periódicos $(A_{p,k}, B_{p,k}, C_{p,k}, D_{p,k})$ usando uma transformação de coordenadas que explora a esparsidade em blocos diagonais deslocada dos parâmetros de Markov.

Contribuições Principais
O artigo apresenta quatro contribuições primárias:

1. Teorema Algébrico Exato: Estabelece um teorema provando que a matriz de transferência da planta ciclicada pode ser recuperada a partir de uma realização com $A$ compartilhado dos mapas em malha fechada sem aumentar a dimensão do estado, mesmo que a realização da planta recuperada seja instável.
2. Mudança de Estabilidade: O framework desloca o requisito de estabilidade para a geração de dados da planta em malha aberta para o sistema em malha fechada internamente estável, permitindo a identificação de plantas LPTV instáveis em malha aberta.
3. Separação Explícita de Hipóteses: O trabalho separa explicitamente as hipóteses necessárias para a geração de dados (estabilidade em malha fechada), identificação (minimalidade do sistema em malha fechada ciclicado) e inversão algébrica (não singularidade do termo direto do caminho do controlador).
4. Implementação Algorítmica: Fornece um algoritmo completo de identificação (Algoritmo 1) que combina identificação por subespaço com as etapas de extração algébrica e transformação de coordenadas derivadas.

Resultados Numéricos
O método é validado através de três exemplos numéricos:

• Planta SISO Estável: Demonstra que o método recupera parâmetros com precisão de máquina em condições sem ruído e alta precisão (erros na norma de Frobenius $\approx 10^{-6}$) sob uma relação sinal-ruído (SNR) de 40 dB.
• Planta SISO Instável em Malha Aberta: Confirma a capacidade do método de recuperar uma realização de planta instável (com autovalores fora do círculo unitário) a partir de dados em malha fechada estáveis. A realização extraída reflete corretamente os autovalores de monodromia instáveis, e a extração algébrica permanece válida apesar da instabilidade.
• Planta MIMO: Valida a abordagem para um sistema Multi-Entrada Multi-Saída, mostrando que o framework escala para dimensões mais altas e mantém precisão invariante a coordenadas via comparações de parâmetros de Markov.

Significado e Afirmações
O artigo afirma que este trabalho preenche uma lacuna específica na teoria de identificação de sistemas: a falta de uma rota teórica de realização para recuperar modelos LPTV de espaço de estados de dimensão finita a partir de dados em malha fechada, particularmente para plantas instáveis. O significado reside na natureza algébrica exata da extração da planta, que não depende de otimização iterativa ou de hipóteses de estabilidade na própria planta. O método distingue-se de:

• Identificação em malha fechada LTI: Explorando a estrutura periódica via reformulação cíclica.
• Identificação LPV: Ao abordar a periodicidade temporal em vez de sinais de agendamento externos.
• Identificação LPTV em malha aberta: Ao remover o pré-requisito de estabilidade em malha aberta.
• Métodos de frequência elevados: Ao visar modelos de espaço de estados de dimensão finita em vez de respostas em frequência não paramétricas.

Os autores observam que a confiabilidade da etapa de extração é governada pelo condicionamento da inversão do caminho do controlador ($C_u B$) e que o método assume uma planta quadrada e estritamente própria e um controlador com grau relativo de um. Trabalhos futuros são sugeridos para abordar plantas não quadradas e casos não estritamente próprios.