Closed-Loop Identification of Periodically Time-Varying Systems via Cyclic Reformulation

Technische Zusammenfassung: Geschlossenen-Regelkreis-Identifikation periodisch zeitvarianter Systeme durch zyklische Reformulierung

Problemstellung
Dieser Beitrag behandelt die Systemidentifikation von linearen, periodisch zeitvarianten (LPTV) Strecken, wobei speziell Szenarien angestrebt werden, in denen die Strecke im offenen Regelkreis instabil ist. In solchen Fällen sind Experimente im offenen Regelkreis praktisch nicht durchführbar, da der Streckenausgang ohne Rückkopplung divergiert. Bestehende LPTV-Identifikationsmethoden, einschließlich Subspace-Ansätzen und auf Lifting basierender Techniken, sind primär für Daten im offenen Regelkreis formuliert oder setzen eine Stabilität im offenen Regelkreis voraus. Während die Identifikation im geschlossenen Regelkreis für instabile, lineare, zeitinvariante (LTI) Strecken gut etabliert ist, bleibt ein realisierungstheoretischer Rahmen, der ein endlichdimensionales Zustandsraum-LPTV-Streckenmodell direkt aus Daten im geschlossenen Regelkreis explizit wiederherstellt, unterentwickelt.

Methodik
Der vorgeschlagene Rahmen integriert den Joint-Input-Output-Ansatz mit einer zyklischen Reformulierung, um die Lücke zwischen Daten im geschlossenen Regelkreis und der Wiederherstellung von LPTV-Modellen zu schließen. Die Methodik durchläuft folgende Stufen:

1. Systemformulierung: Der Beitrag betrachtet eine quadratische, streng richtige LPTV-Strecke, die durch einen LPTV-Regler mit einer relativen Ordnung von eins gesteuert wird. Das geschlossene System wird als erweitertes LPTV-System modelliert, das von einem externen Referenzsignal $r(k)$ angetrieben wird und gemeinsame Ausgänge aus dem Streckenausgang $y(k)$ und dem Stellglied $u(k)$ erzeugt.
2. Zyklische Reformulierung: Das periodische geschlossene System wird mittels zyklischer Reformulierung in ein äquivalentes lineares, zeitinvariantes (LTI) System umgewandelt. Dies beinhaltet die Konstruktion „zyklisierter" Signale, bei denen die Eingangs- und Ausgangsvektoren auf die Dimension $M$-mal der ursprünglichen Dimension erweitert werden (wobei $M$ die Periodendauer ist), wodurch die periodischen Variationen effektiv zu einem einzigen LTI-Zustandsraummodell gestapelt werden.
3. Subspace-Identifikation: Standard-Subspace-Identifikationsalgorithmen (z. B. N4SID) werden auf das zyklisierte Referenzsignal $\check{r}(k)$ und den gestapelten zyklisierten gemeinsamen Ausgang $\check{z}(k) = [\check{y}(k)^\top, \check{u}(k)^\top]^\top$ angewendet. Dies liefert eine gemeinsame Zustandsraumrealisierung $(A, B, C)$ für die geschlossenen Regelkreis-Übertragungen von $\check{r}$ nach $\check{y}$ und von $\check{r}$ nach $\check{u}$. Entscheidend ist, dass beide Übertragungsfunktionen dieselbe Zustandsdynamik $(A, B)$ teilen.
4. Algebraische Streckenextraktion: Der Kern der Methode ist ein exaktes algebraisches Theorem, das die zyklisierte Streckenübertragungsmatrix $\check{P}(z)$ aus den identifizierten geschlossenen Regelkreis-Karten wiederherstellt. Da $\check{P}(z) = \check{T}_{yr}(z) \check{T}_{ur}(z)^{-1}$ gilt, leitet der Beitrag eine Zustandsraumrealisierung von $\check{P}(z)$ direkt aus den gemeinsamen Matrizen $(A, B, C_y, C_u)$ ohne Zustandsvergrößerung ab. Die Extraktion beruht auf der Invertierbarkeit des direkten Durchgriffsterms des Reglerpfads ($C_u B$).
5. Parameterwiederherstellung: Die extrahierte zyklisierte Realisierung wird in der Ordnung reduziert (durch Entfernen der Reglerdynamik via balancierter Trunkierung) und mittels einer Koordinatentransformation, die die verschobene blockdiagonale Sparsity der Markov-Parameter ausnutzt, zurück in die ursprünglichen periodischen Zustandsraumparameter $(A_{p,k}, B_{p,k}, C_{p,k}, D_{p,k})$ transformiert.

Hauptbeiträge
Der Beitrag stellt vier primäre Beiträge vor:

1. Exaktes algebraisches Theorem: Es wird ein Theorem bewiesen, das zeigt, dass die zyklisierte Streckenübertragungsmatrix aus einer gemeinsamen-$A$-Realisierung der geschlossenen Regelkreis-Karten ohne Erhöhung der Zustandsdimension wiederhergestellt werden kann, selbst wenn die wiederhergestellte Streckenrealisierung instabil ist.
2. Stabilitätsverschiebung: Der Rahmen verschiebt die Stabilitätsanforderung für die Datengenerierung von der Strecke im offenen Regelkreis auf das intern stabile geschlossene System und ermöglicht so die Identifikation von im offenen Regelkreis instabilen LPTV-Strecken.
3. Explizite Trennung von Annahmen: Die Arbeit trennt explizit die für die Datengenerierung (Stabilität im geschlossenen Regelkreis), die Identifikation (Minimalität des zyklisierten geschlossenen Systems) und die algebraische Inversion (Nicht-Singularität des direkten Terms des Reglerpfads) erforderlichen Annahmen.
4. Algorithmische Implementierung: Es wird ein vollständiger Identifikationsalgorithmus (Algorithmus 1) bereitgestellt, der Subspace-Identifikation mit den abgeleiteten algebraischen Extraktions- und Koordinatentransformationsschritten kombiniert.

Numerische Ergebnisse
Die Methode wird durch drei numerische Beispiele validiert:

• Stabile SISO-Strecke: Zeigt, dass die Methode Parameter unter rauschfreien Bedingungen mit Maschinengenauigkeit und unter einem Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) von 40 dB mit hoher Genauigkeit (Frobenius-Norm-Fehler $\approx 10^{-6}$) wiederherstellt.
• Im offenen Regelkreis instabile SISO-Strecke: Bestätigt die Fähigkeit der Methode, eine instabile Streckenrealisierung (mit Eigenwerten außerhalb des Einheitskreises) aus stabilen Daten im geschlossenen Regelkreis wiederherzustellen. Die extrahierte Realisierung spiegelt korrekt die instabilen monodromen Eigenwerte wider, und die algebraische Extraktion bleibt trotz der Instabilität gültig.
• MIMO-Strecke: Validiert den Ansatz für ein Mehrgrößensystem (Multi-Input Multi-Output) und zeigt, dass der Rahmen auf höhere Dimensionen skalierbar ist und über Markov-Parameter-Vergleiche eine koordinateninvariante Genauigkeit beibehält.

Bedeutung und Behauptungen
Der Beitrag behauptet, dass diese Arbeit eine spezifische Lücke in der Systemidentifikationstheorie schließt: das Fehlen eines realisierungstheoretischen Weges, um endlichdimensionale Zustandsraum-LPTV-Modelle aus Daten im geschlossenen Regelkreis, insbesondere für instabile Strecken, wiederherzustellen. Die Bedeutung liegt in der exakt algebraischen Natur der Streckenextraktion, die weder auf iterative Optimierung noch auf Stabilitätsannahmen bezüglich der Strecke selbst angewiesen ist. Die Methode unterscheidet sich von:

• LTI-Identifikation im geschlossenen Regelkreis: Durch die Ausnutzung der periodischen Struktur via zyklischer Reformulierung.
• LPV-Identifikation: Durch die Adressierung der Zeitperiodizität statt externer Scheduling-Signale.
• LPTV-Identifikation im offenen Regelkreis: Durch die Beseitigung der Voraussetzung einer Stabilität im offenen Regelkreis.
• Gehobenen Frequenzbereichsmethoden: Durch die Zielsetzung endlichdimensionaler Zustandsraummodelle statt nichtparametrischer Frequenzgänge.

Die Autoren weisen darauf hin, dass die Zuverlässigkeit des Extraktionsschritts durch die Konditionierung der Inversen des Reglerpfads ($C_u B$) bestimmt wird und dass die Methode eine quadratische, streng richtige Strecke sowie einen Regler mit relativer Ordnung eins voraussetzt. Als zukünftige Arbeiten wird vorgeschlagen, nicht-quadratische Strecken und nicht-streng-richtige Fälle zu adressieren.