On the fundamental solutions of two nonlocal parabolic equations related to logarithmic Laplacians

Resumen Técnico: Sobre las soluciones fundamentales de dos ecuaciones parabólicas no locales relacionadas con los Laplacianos logarítmicos

Planteamiento del problema
Este artículo aborda una pregunta planteada por V. Maz'ya relativa a la continuación analítica de la solución fundamental de una ecuación parabólica no local específica asociada con un Laplaciano logarítmico. El estudio se centra en dos operadores integrales, $A_1$ y $A_2$, que surgen en el contexto de problemas de valores en la frontera para el Laplaciano ordinario en dominios con cavidades delgadas.

1. Operador $A_1$: Definido en el círculo unitario $C \subset \mathbb{R}^2$, este operador está relacionado con el Laplaciano logarítmico conforme. Su solución fundamental, $K_1(t, \phi, \theta)$, se representa mediante una serie espectral cuyas magnitudes propias $2\lambda_n$ crecen asintóticamente como $2\ln(n)$. La serie converge solo para $\Re(t) > 1/2$ en la diagonal ($\phi=\theta$). Maz'ya preguntó si esta representación en serie podía continuarse como una función meromorfa de $t$.
2. Operador $A_2$: Definido en el intervalo $[-1, 1]$, este operador está asociado con un Laplaciano fraccionario "regional" o un Laplaciano de Dirichlet logarítmico. Su solución fundamental, $K_2(t, x, y)$, involucra polinomios de Legendre y números armónicos $H_n$. Las propiedades de convergencia de su serie espectral son más complejas y dependen de las variables espaciales $x$ e $y$.

Metodología
Los autores emplean un enfoque de análisis espectral combinado con expansiones asintóticas y técnicas de análisis complejo:

• Descomposición Espectral: Se demuestra que ambos operadores poseen espectros puramente discretos. Las soluciones fundamentales se expresan como sumas sobre autofunciones ponderadas por $e^{-t\lambda_n}$.
• Expansión Asintótica de los Valores Propios: La herramienta técnica central es la expansión asintótica de los valores propios (específicamente $2\lambda_n$ para $A_1$ y $H_n$ para $A_2$) cuando $n \to \infty$. Los autores utilizan la expansión $\mu_n \sim s_{-1}\ln(n) + s_0 + \sum s_k n^{-k}$.
• Polinomios de Bell y Funciones Generatrices Exponenciales: Para manejar la continuación analítica, los autores expanden el término $e^{-t\mu_n}$ utilizando la serie asintótica. Esto conduce a la introducción de los polinomios $p_{j,S}(t)$, definidos mediante polinomios de Bell ordinarios parciales. Estos polinomios capturan los coeficientes de la expansión asintótica del término exponencial.
• Representaciones Integrales: Para el caso general de $K_2$ (donde $x, y \in (-1, 1)$), los autores utilizan la transformada de Mellin y la función generatriz de los polinomios de Legendre (expresada mediante la función hipergeométrica ${}_2F_1$). Esto permite convertir la suma espectral en una representación integral, facilitando el análisis de las singularidades cerca de $s=0$ (donde $s$ es la variable de integración en la transformada de Mellin).
• Análisis de Singularidades: Al analizar el comportamiento del integrando cerca de $s=0$, particularmente la interacción entre los términos logarítmicos provenientes de la función hipergeométrica y el factor prefactor de la función Gamma, los autores determinan la ubicación y la naturaleza de los polos de la continuación meromorfa.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Continuación Meromorfa de $K_1$:

   • Teorema 1.2: La solución fundamental $K_1(t, \phi, \theta)$ se extiende como una función entera de $t$ para todo $\phi \neq \theta$.
   • Para el caso de la diagonal $\phi = \theta$, $K_1(t, \phi, \phi)$ se extiende como una función meromorfa con polos simples en $t = 1/2 - m$ para $m \in \mathbb{N}_0$.
   • Los residuos en estos polos se calculan explícitamente en términos de los polinomios $p_{j,S_1}(t)$ y la constante de Euler-Mascheroni $\gamma_E$.
   • Los autores conjeturan que estos son los únicos polos, supeditado a que ciertos polinomios específicos no se anulen en dichos puntos.

2. Continuación Meromorfa de $K_2$:

   • Teorema 1.4: Para $x \neq y$, $K_2(t, x, y)$ se extiende como una función entera de $t$.
   • Para el caso de la diagonal $x = y$, $K_2(t, x, x)$ se extiende como una función meromorfa.
     • Si $x = \pm 1$, los polos ocurren en $t = 2$ y $t = -2m$ ($m \in \mathbb{N}$).
     • Si $x \in (-1, 1)$, los polos ocurren en $t = 1$ y potencialmente en $t = -m$ ($m \in \mathbb{N}$).
   • Teorema 1.5: Se proporcionan fórmulas explícitas para los residuos. Estas involucran los polinomios $p_{j,S_2}(t)$, los números de Bernoulli y los coeficientes derivados de la expansión de la función hipergeométrica y el término de la raíz cuadrada en la representación integral.

3. Nuevas Identidades Matemáticas:

   • El análisis requiere y demuestra varias identidades que involucran polinomios de Bell, números de Bernoulli y la función digamma.
   • Específicamente, los autores establecen que ciertos polinomios $p_{j,S_2(s)}(1-j)$ son independientes de $s$ y se anulan para $j$ impar.
   • Derivan una secuencia de identidades que involucran combinaciones lineales de productos de polinomios de Bernoulli (por ejemplo, $B_1(s)^2/2 - B_2(s)/2 = 1/24$).

4. Problemas Abiertos:

   • El artículo formula conjeturas específicas respecto al no anulación de los polinomios de los residuos en las ubicaciones de los polos sospechados. Probar esto confirmaría la estructura exacta de los polos (es decir, que no ocurren cancelaciones "accidentales" que eliminen los polos).
   • Los autores señalan que, aunque se espera una continuación meromorfa, esta no está garantizada para todas las series espectrales (citando ejemplos donde ocurren puntos de rama logarítmicos), lo que hace que sus resultados positivos sean significativos.

Significancia
El artículo proporciona una respuesta afirmativa rigurosa a la pregunta de Maz'ya, demostrando que las soluciones fundamentales de estas ecuaciones parabólicas no locales, a pesar de su representación inicial como series con convergencia limitada, poseen estructuras analíticas ricas (meromorfas o enteras).

Los resultados revelan que estas soluciones son "reminiscentes" de las funciones zeta de Riemann desplazadas (en la diagonal) y de las funciones polilogaritmo o funciones eta de Dirichlet (fuera de la diagonal). El trabajo tiende un puente entre la teoría espectral de los Laplacianos logarítmicos y las funciones especiales clásicas. Además, la derivación de nuevas identidades que involucran los números de Bell y de Bernoulli contribuye a la teoría de números combinatoria, independientemente de su aplicación principal en EDP. Los autores sugieren modestamente que sus métodos podrían ser adaptables a análogos de mayor dimensión de estos operadores, aunque esto queda como una dirección para trabajos futuros.