On the fundamental solutions of two nonlocal parabolic equations related to logarithmic Laplacians

Résumé technique : Sur les solutions fondamentales de deux équations paraboliques non locales liées aux laplaciens logarithmiques

Énoncé du problème
Cet article traite d'une question posée par V. Maz'ya concernant la continuation analytique de la solution fondamentale d'une équation parabolique non locale spécifique associée à un laplacien logarithmique. L'étude se concentre sur deux opérateurs intégraux, $A_1$ et $A_2$, qui apparaissent dans le contexte des problèmes de valeurs limites pour le laplacien ordinaire sur des domaines présentant des cavités minces.

1. Opérateur $A_1$ : Défini sur le cercle unité $C \subset \mathbb{R}^2$, cet opérateur est lié au laplacien logarithmique conforme. Sa solution fondamentale, $K_1(t, \phi, \theta)$, est représentée par une série spectrale impliquant des valeurs propres $2\lambda_n$ dont la croissance asymptotique est de l'ordre de $2\ln(n)$. La série ne converge que pour $\Re(t) > 1/2$ sur la diagonale ($\phi=\theta$). Maz'ya a demandé si cette représentation en série pouvait être prolongée en tant que fonction méromorphe de $t$.
2. Opérateur $A_2$ : Défini sur l'intervalle $[-1, 1]$, cet opérateur est associé à un laplacien fractionnaire « régional » ou à un laplacien de Dirichlet logarithmique. Sa solution fondamentale, $K_2(t, x, y)$, implique des polynômes de Legendre et des nombres harmoniques $H_n$. Les propriétés de convergence de sa série spectrale sont plus complexes et dépendent des variables spatiales $x$ et $y$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche d'analyse spectrale combinée à des développements asymptotiques et des techniques d'analyse complexe :

• Décomposition spectrale : Il est démontré que les deux opérateurs possèdent des spectres purement discrets. Les solutions fondamentales sont exprimées comme des sommes sur les fonctions propres pondérées par $e^{-t\lambda_n}$.
• Développement asymptotique des valeurs propres : L'outil technique central est le développement asymptotique des valeurs propres (spécifiquement $2\lambda_n$ pour $A_1$ et $H_n$ pour $A_2$) lorsque $n \to \infty$. Les auteurs utilisent le développement $\mu_n \sim s_{-1}\ln(n) + s_0 + \sum s_k n^{-k}$.
• Polynômes de Bell et fonctions génératrices exponentielles : Pour traiter la continuation analytique, les auteurs développent le terme $e^{-t\mu_n}$ en utilisant le développement asymptotique. Cela conduit à l'introduction de polynômes $p_{j,S}(t)$ définis via des polynômes de Bell ordinaires partiels. Ces polynômes capturent les coefficients du développement asymptotique du terme exponentiel.
• Représentations intégrales : Pour le cas général de $K_2$ (où $x, y \in (-1, 1)$), les auteurs utilisent la transformée de Mellin et la fonction génératrice des polynômes de Legendre (exprimée via la fonction hypergéométrique ${}_2F_1$). Cela permet de convertir la somme spectrale en une représentation intégrale, facilitant l'analyse des singularités près de $s=0$ (où $s$ est la variable d'intégration dans la transformée de Mellin).
• Analyse des singularités : En analysant le comportement de l'intégrande près de $s=0$, en particulier l'interaction entre les termes logarithmiques provenant de la fonction hypergéométrique et le facteur pré-multiplicatif Gamma, les auteurs déterminent l'emplacement et la nature des pôles de la continuation méromorphe.

Contributions clés et résultats

1. Continuation méromorphe de $K_1$ :

   • Théorème 1.2 : La solution fondamentale $K_1(t, \phi, \theta)$ se prolonge en une fonction entière de $t$ pour tout $\phi \neq \theta$.
   • Pour le cas diagonal $\phi = \theta$, $K_1(t, \phi, \phi)$ se prolonge en une fonction méromorphe avec des pôles simples en $t = 1/2 - m$ pour $m \in \mathbb{N}_0$.
   • Les résidus à ces pôles sont explicitement calculés en termes des polynômes $p_{j,S_1}(t)$ et de la constante d'Euler-Mascheroni $\gamma_E$.
   • Les auteurs conjecturent que ce sont les seuls pôles, sous réserve de la non-annulation de certains polynômes évalués en ces points.

2. Continuation méromorphe de $K_2$ :

   • Théorème 1.4 : Pour $x \neq y$, $K_2(t, x, y)$ se prolonge en une fonction entière de $t$.
   • Pour le cas diagonal $x = y$, $K_2(t, x, x)$ se prolonge en une fonction méromorphe.
     • Si $x = \pm 1$, les pôles se situent en $t = 2$ et $t = -2m$ ($m \in \mathbb{N}$).
     • Si $x \in (-1, 1)$, les pôles se situent en $t = 1$ et potentiellement en $t = -m$ ($m \in \mathbb{N}$).
   • Théorème 1.5 : Des formules explicites pour les résidus sont fournies. Celles-ci impliquent les polynômes $p_{j,S_2}(t)$, les nombres de Bernoulli, et des coefficients dérivés du développement de la fonction hypergéométrique et du terme racine carrée de la représentation intégrale.

3. Nouvelles identités mathématiques :

   • L'analyse nécessite et prouve plusieurs identités impliquant les polynômes de Bell, les nombres de Bernoulli et la fonction digamma.
   • Plus précisément, les auteurs établissent que certains polynômes $p_{j,S_2(s)}(1-j)$ sont indépendants de $s$ et s'annulent pour $j$ impair.
   • Ils dérivent une séquence d'identités impliquant des combinaisons linéaires de produits de polynômes de Bernoulli (par exemple, $B_1(s)^2/2 - B_2(s)/2 = 1/24$).

4. Problèmes ouverts :

   • L'article formule des conjectures spécifiques concernant la non-annulation des polynômes de résidus aux emplacements de pôles suspectés. Prouver cela confirmerait la structure exacte des pôles (c'est-à-dire qu'aucune annulation « accidentelle » ne se produit pour supprimer les pôles).
   • Les auteurs notent que, bien qu'une continuation méromorphe soit attendue, elle n'est pas garantie pour toutes les séries spectrales (citant des exemples où des points de branchement logarithmiques apparaissent), ce qui rend leurs résultats positifs significatifs.

Signification
L'article apporte une réponse affirmative rigoureuse à la question de Maz'ya, démontrant que les solutions fondamentales de ces équations paraboliques non locales, malgré leur représentation initiale sous forme de séries à convergence limitée, possèdent des structures analytiques riches (méromorphes ou entières).

Les résultats révèlent que ces solutions sont « rappelant » les fonctions zeta de Riemann décalées (sur la diagonale) et les polylogarithmes ou fonctions eta de Dirichlet (hors diagonale). Ce travail jette un pont entre la théorie spectrale des laplaciens logarithmiques et les fonctions spéciales classiques. De plus, la dérivation de nouvelles identités impliquant les nombres de Bell et de Bernoulli contribue à la théorie combinatoire des nombres, indépendamment de l'application principale aux EDP. Les auteurs suggèrent modestement que leurs méthodes pourraient être adaptables à des analogues de dimension supérieure de ces opérateurs, bien que cela constitue une direction pour des travaux futurs.