Branch-Level Energy Localization in Three-Phase Loads: Resolving Indeterminacy in Time-Domain

Resumen Técnico: Localización de la Energía a Nivel de Rama en Cargas Trifásicas

Planteamiento del Problema
La teoría de la potencia ha enfrentado durante mucho tiempo una tensión entre las cuestiones operativas (qué cantidades numéricas son útiles para la medición y el control) y las cuestiones físicas (qué cantidades corresponden al flujo de energía real, la disipación o el almacenamiento). Si bien diversas teorías (IEEE Std. 1459, CPC, $p-q$ instantánea, FBD) proporcionan índices operativos, a menudo arrojan interpretaciones mutuamente incompatibles sobre dónde se disipa o almacena la energía, lo que genera "paradojas". En sistemas trifásicos, esta dificultad se ve exacerbada por las restricciones estructurales: en conexiones de tres hilos, el punto neutro es inaccesible, las corrientes de línea son combinaciones lineales de las corrientes internas de las ramas y múltiples topologías agrupadas admisibles pueden reproducir observables terminales idénticos. La agregación a través de las fases puede, además, ocultar los intercambios de energía locales, causando que las variaciones de almacenamiento por fase desaparezcan en el límite terminal mientras permanecen físicamente presentes.

Metodología
El artículo propone un marco de localización de energía a nivel de rama para cargas trifásicas que operan en el régimen cuasi-estático agrupado. La metodología se basa en los siguientes pilares:

1. Axioma de Balance de Energía: El marco trata el teorema de Tellegen como el axioma de trabajo, reduciendo la forma integral de Poynting al nivel de circuito. La potencia terminal instantánea ($p_{term} = \mathbf{v}^\top \mathbf{i}$) se iguala a la suma algebraica de las contribuciones de las ramas: disipación de Joule ($p_R$) y las tasas temporales de cambio de la energía almacenada magnética ($W'_L$) y eléctrica ($W'_C$).
2. Equivalentes Admisibles: El marco requiere una topología equivalente agrupada identificada (por ejemplo, delta-paralelo o wye-serie) con parámetros determinados mediante maquinaria de identificación en el dominio del tiempo (invocada de un trabajo complementario).
3. Descomposición: Una vez identificada una topología y sus parámetros, la potencia terminal instantánea se descompone de forma única en componentes a nivel de rama:
   $$p_{term} = \sum_{r \in R} R_r i_r^2 + \sum_{\ell \in L} L_\ell i_\ell i'_\ell + \sum_{c \in C} C_c v_c v'_c$$
   Esta descomposición es distinta de la definición de nuevos componentes de potencia; es una igualdad de funciones escalares derivadas de las relaciones constitutivas.

Contribuciones Clave
El artículo establece tres resultados formales y los valida a través de seis casos de prueba:

1. Teorema de Localización a Nivel de Rama (Teorema 1): Para una topología admisible fija y parámetros identificados, la descomposición de la potencia terminal en disipación de Joule y tasas de energía almacenada es única.
2. Teorema de Indeterminación de la Topología (Teorema 2): Múltiples topologías admisibles (por ejemplo, un equivalente delta-paralelo frente a un equivalente wye-serie con un neutro virtual) pueden reproducir datos terminales ($v, i$) idénticos, asignando distintas localizaciones de energía a sus ramas internas. Esto establece que la localización de energía a nivel de rama es una propiedad del modelo, no solo de los datos.
3. Teorema de Dualidad Energética Generalizada (Teorema 3): Se demuestra que las dualidades eléctricas clásicas (Norton-Thevenin, serie-paralelo, $L \leftrightarrow C$) son restricciones de un único principio en el dominio del tiempo. Para cualquier par terminal de rama, cada familia de topologías admisibles puede parametrizarse (usando parámetros variables en el tiempo) para reproducir la misma descomposición de energía de rama. Las dualidades clásicas emergen solo cuando los parámetros degeneran en constantes bajo regímenes sinusoidales LTI.

Resultados y Casos de Prueba
El marco fue ejercitado en seis casos de prueba sintéticos, demostrando su capacidad para resolver paradojas clásicas:

• Carga RL Equilibrada: Mientras que la potencia terminal agregada y la energía magnética total son constantes, el marco revela que la energía magnética por fase oscila y que las tasas de almacenamiento se intercambian cíclicamente entre las fases. Esto expone cómo la invariancia agregada oculta el intercambio interno por fase.
• Carga Resistiva de Rama Única (Fase Abierta): En una carga con una sola rama conductora, las teorías clásicas (CPC, $p-q$) generan corrientes "fantasma" o componentes reactivas no nulas en las fases abiertas. El marco de nivel de rama identifica correctamente el almacenamiento cero y la disipación cero en las ramas abiertas, atribuyendo toda la energía a la única resistencia activa.
• Carga No Lineal de Resistencia Conmutada: Para una carga puramente resistiva con conmutación TRIAC, las teorías clásicas reportan una distorsión significativa y componentes de potencia dispersas, vacías y reactivas. El marco identifica estas como artefactos del dominio de coordenadas, mostrando que $W'_L$ y $W'_C$ son identicamente cero, y que toda la energía es disipación de Joule vía conductancia variable en el tiempo.
• Indeterminación de Topología de Tres Hilos: Un caso numérico confirma que un modelo delta-paralelo y un modelo wye-serie virtual producen la misma potencia terminal pero distintos perfiles de disipación y almacenamiento internos. Ambos son admisibles, pero la elección depende de la naturaleza física de la carga.
• Carga de Fase Fluctuante: En un sistema equilibrado donde las coordenadas reactivas fundamentales desaparecen, el marco detecta un intercambio de almacenamiento por fase manifiesto que es invisible para las proyecciones de coordenadas fijas.
• Carga No Lineal Desequilibrada de Cuatro Hilos: El marco localiza con éxito la pérdida por histéresis en un inductor histérico (mediante una conductancia efectiva variable en el tiempo), el comportamiento RLC lineal y el comportamiento resistivo conmutado dentro de una misma sección, proporcionando una descomposición unificada para ramas estructuralmente heterogéneas.

Significado y Posicionamiento
El artículo posiciona este marco como complementario a los estándares y teorías existentes (IEEE Std. 1459, CPC, $p-q$, FBD), no como un reemplazo.

• Resolución de Paradojas: El artículo argumenta que las paradojas clásicas no son fallos de la física, sino síntomas de describir sistemas utilizando únicamente coordenadas terminales. Al identificar un equivalente agrupado físicamente admisible, el marco devuelve la ubicación, el signo y el perfil temporal de cada contribución de almacenamiento y disipación, haciendo que las paradojas aparentes desaparezcan.
• Operativo vs. Físico: Se reconoce que las teorías clásicas son válidas para tareas operativas (medición, diseño de compensación, control de convertidores). Sin embargo, responden preguntas diferentes a las del marco de nivel de rama, que pregunta específicamente: "¿Dónde, dentro de la carga, se disipa o almacena la energía en cualquier instante?".
• Decisión de Modelado: El artículo enfatiza que en sistemas de tres hilos sin un neutro medido, la selección de una topología (delta vs. wye) es una decisión de modelado. El marco proporciona las herramientas para cuantificar las consecuencias de esta decisión, asegurando que las afirmaciones de interpretación física vayan acompañadas de la topología específica utilizada.

En resumen, el artículo proporciona un método riguroso a nivel de circuito para mapear la potencia terminal instantánea a procesos físicos internos, aclarando que la localización de la energía depende de la topología admisible elegida y que los componentes de potencia no activos clásicos suelen representar artefactos de coordenadas más que procesos físicos de almacenamiento.