Branch-Level Energy Localization in Three-Phase Loads: Resolving Indeterminacy in Time-Domain

Resumo Técnico: Localização de Energia em Nível de Ramo para Cargas Trifásicas

Enunciado do Problema
A teoria de potência enfrenta há muito tempo uma tensão entre questões operacionais (quais quantidades numéricas são úteis para medição e controle) e questões físicas (quais quantidades correspondem ao fluxo real de energia, dissipação ou armazenamento). Embora várias teorias (IEEE Std. 1459, CPC, $p-q$ instantâneo, FBD) forneçam índices operacionais, elas frequentemente resultam em interpretações mutuamente incompatíveis sobre onde a energia é dissipada ou armazenada, levando a "paradoxos". Em sistemas trifásicos, essa dificuldade é exacerbada por restrições estruturais: em conexões de três fios, o ponto neutro é inacessível, as correntes de linha são combinações lineares de correntes internas de ramo e múltiplas topologias agrupadas admissíveis podem reproduzir observáveis terminais idênticos. A agregação entre fases pode, ainda, ocultar trocas locais de energia, fazendo com que variações de armazenamento por fase desapareçam na fronteira terminal, embora permaneçam fisicamente presentes.

Metodologia
O artigo propõe um framework de localização de energia em nível de ramo para cargas trifásicas operando no regime quase-estático agrupado. A metodologia baseia-se nos seguintes pilares:

1. Axioma de Balanço de Energia: O framework trata o teorema de Tellegen como o axioma de trabalho, reduzindo a forma integral de Poynting para uma afirmação de nível de circuito. A potência terminal instantânea ($p_{term} = \mathbf{v}^\top \mathbf{i}$) é igualada à soma algébrica das contribuições de ramo: dissipação Joule ($p_R$) e as taxas temporais de variação da energia armazenada magnética ($W'_L$) e elétrica ($W'_C$).
2. Equivalentes Admissíveis: O framework exige uma topologia equivalente agrupada identificada (ex: delta-paralelo ou wye-série) com parâmetros determinados via instrumentação de identificação no domínio do tempo (invocada de trabalho complementar).
3. Decomposição: Uma vez que uma topologia e parâmetros sejam identificados, a potência terminal instantânea é decomposta unicamente em componentes de nível de ramo:
   $$p_{term} = \sum_{r \in R} R_r i_r^2 + \sum_{\ell \in L} L_\ell i_\ell i'_\ell + \sum_{c \in C} C_c v_c v'_c$$
   Esta decomposição é distinta da definição de novos componentes de potência; é uma igualdade de funções escalares derivadas de relações constitutivas.

Principais Contribuições
O artigo estabelece três resultados formais e os valida através de seis casos de teste:

1. Teorema de Localização de Energia em Nível de Ramo (Teorema 1): Para uma topologia admissível fixa e parâmetros identificados, a decomposição da potência terminal em dissipação Joule e taxas de energia armazenada é única.
2. Teorema de Indeterminação de Topologia (Teorema 2): Múltiplas topologias admissíveis (ex: um equivalente delta-paralelo vs. um equivalente wye-série com um neutro virtual) podem reproduzir dados terminais ($v, i$) idênticos, enquanto atribuem localizações de energia distintas aos seus ramos internos. Isso estabelece que a localização de energia em nível de ramo é uma propriedade do modelo, não apenas dos dados.
3. Teorema de Dualidade Energética Generalizada (Teorema 3): As dualidades elétricas clássicas (Norton-Thevenin, série-paralelo, $L \leftrightarrow C$) mostram-se como restrições de um único princípio no domínio do tempo. Para qualquer par de terminais de ramo, toda família de topologias admissíveis pode ser parametrizada (usando parâmetros variantes no tempo) para reproduzir a mesma decomposição de energia de ramo. As dualidades clássicas emergem apenas quando os parâmetros degeneram para constantes sob regimes senoidais LTI.

Resultados e Casos de Teste
O framework foi exercitado em seis casos de teste sintéticos, demonstrando sua capacidade de resolver paradoxos clássicos:

• Carga RL Equilibrada: Enquanto a potência terminal agregada e a energia magnética total são constantes, o framework revela que a energia magnética por fase oscila e que as taxas de armazenamento trocam ciclicamente entre as fases. Isso expõe como a invariância agregada oculta a troca interna por fase.
• Carga Resistiva de Ramo Único (Fase Aberta): Em uma carga com apenas um ramo condutor, as teorias clássicas (CPC, $p-q$) geram correntes "fantasmagóricas" ou componentes reativas não nulas em fases abertas. O framework de nível de ramo identifica corretamente zero armazenamento e zero dissipação nos ramos abertos, atribuindo toda a energia ao único resistor ativo.
• Carga Não Linear Resistiva Comutada: Para uma carga puramente resistiva com comutação TRIAC, as teorias clássicas relatam distorção significativa, componentes de potência dispersas, vazias e reativas. O framework identifica estas como artefatos do domínio de coordenadas, mostrando que $W'_L$ e $W'_C$ são identicamente zero, e toda a energia é dissipação Joule via condutância variante no tempo.
• Indeterminação de Topologia de Três Fios: Um caso numérico confirma que um modelo delta-paralelo e um modelo wye-série virtual produzem a mesma potência terminal, mas perfis distintos de dissipação e armazenamento interno. Ambos são admissíveis, mas a escolha depende da natureza física da carga.
• Carga de Fase Flutuante: Em um sistema equilibrado onde as coordenadas reativas fundamentais desaparecem, o framework detecta uma manifesta troca de armazenamento por fase que é invisível para projeções de coordenadas fixas.
• Carga Não Linear Desequilibrada de Quatro Fios: O framework localiza com sucesso a perda por histerese em um indutor histerético (via uma condutância efetiva variante no tempo), comportamento RLC linear e comportamento resistivo comutado dentro de uma única seção, fornecendo uma decomposição unificada para ramos estruturalmente heterogêneos.

Significância e Posicionamento
O artigo posiciona este framework como complementar aos padrões e teorias existentes (IEEE Std. 1459, CPC, $p-q$, FBD):

• Resolução de Paradoxos: O artigo argumenta que os paradoxos clássicos não são falhas da física, mas sintomas de descrever sistemas usando apenas coordenadas terminais. Ao identificar um equivalente agrupado fisicamente admissível, o framework retorna a localização, o sinal e o perfil temporal de cada contribuição de armazenamento e dissipação, fazendo com que os paradoxos aparentes desapareçam.
• Operacional vs. Físico: As teorias clássicas são reconhecidas como válidas para tarefas operacionais (medição, projeto de compensação, controle de conversores). No entanto, elas respondem a perguntas diferentes do framework de nível de ramo, que pergunta especificamente: "Onde, dentro da carga, a energia é dissipada ou armazenada em qualquer instante?"
• Decisão de Modelagem: O artigo enfatiza que em sistemas de três fios sem um neutro medido, a seleção de uma topologia (delta vs. wye) é uma decisão de modelagem. O framework fornece as ferramentas para quantificar as consequências dessa decisão, garantindo que as afirmações de interpretação física sejam acompanhadas pela topologia específica utilizada.

Em resumo, o artigo fornece um método rigoroso de nível de circuito para mapear a potência terminal instantânea para processos físicos internos, esclarecendo que a localização de energia é contingente à topologia admissível escolhida e que os componentes de potência não ativa clássicos representam frequentemente artefatos de coordenadas, em vez de processos físicos de armazenamento.