Projective subvarieties of Bogomolov-Guan manifolds and quasi-diagonals in products of elliptic curves

Resumen Técnico: Subvariedades en los Precursores de Bogomolov-Guan

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la estructura geométrica de las subvariedades complejas dentro de las variedades de Bogomolov-Guan (BG) y sus precursores. Las variedades BG son variedades holomorfas simplécticas, compactas y simplemente conexas que no son Kähler, construidas por D. Guan y analizadas por F. Bogomolov. Si bien trabajos previos (específicamente [BKKY]) establecieron que la reducción algebraica de una variedad BG es una fibración lagrangiana $P: BG \to \mathbb{P}^n$ y que las subvariedades que mapean a dimensiones $\geq 2$ no pueden ser proyectivas, la clasificación de las subvariedades proyectivas (o de Moishezon) que mapean a curvas permanecía incompleta. El problema central es caracterizar exactamente cuáles subvariedades en estos entornos no-Kähler son proyectivas y comprender la escasez de tales objetos.

Metodología
Los autores emplean un enfoque multifacético que combina la geometría algebraica, la geometría diferencial compleja y la teoría de nilvariedades:

1. Análisis de Precursores: En lugar de trabajar directamente con la intrincada construcción de las variedades BG (que involucran esquemas de Hilbert de superficies de Kodaira), los autores se centran en los "precursores de BG". Estos son variedades complejas más simples construidas como cocientes de productos de superficies de Kodaira mediante acciones diagonales de curvas elípticas. El artículo establece un morfismo finitamente finito entre la variedad BG y un cociente finito de su precursor, lo que permite transferir los resultados de los precursores a las variedades BG.
2. Cuasi-diagonales: El objeto geométrico central introducido es la "cuasi-diagonal". Definida en el producto de curvas elípticas $E^n$, una curva $S$ es una cuasi-diagonal sobre un par $(E, L)$ (donde $L$ es un fibrado de línea amplitud) si el fibrado de línea $p_i^*L \otimes p_j^*L^{-1}$ es torsión en $S$ para todas las proyecciones $p_i, p_j$. La clasificación de las subvariedades proyectivas en los precursores de BG se reduce a la clasificación de estas cuasi-diagonales.
3. Rigidez Algebraica: Los autores utilizan la teoría de fibrados tórquicos principales y clases de Chern. Aplican el teorema de Blanchard y sus generalizaciones para mostrar que, para que una subvariedad sea proyectiva (o de clase Fujiki), la retroimágenes de fibrados de línea específicos deben ser torsión. Esto conduce a una reducción del problema al estudio de familias de cuasi-diagonales.
4. Herramientas Complejo-Analíticas: Para probar la escasez de las cuasi-diagonales, el artículo emplea dos métodos distintos:
   • Algebraico: Un argumento de rigidez utilizando las propiedades de la familia universal de curvas y el comportamiento de los fibrados de línea bajo retroimágenes, lo que conduce a una contradicción si existe una familia no contable de cuasi-diagonales.
   • Analítico: Los autores demuestran que los precursores de BG admiten una métrica pluricerrada (SKT). Al invocar el teorema de compacidad de Gromov para los espacios de Barlet de curvas en variedades pluricerradas y el teorema de correducción de Campana, prueban que el espacio de módulos de tales curvas es compacto, lo que implica que no pueden existir familias continuas de cuasi-diagonales.

Contribuciones Clave y Resultados

• Clasificación de Subvariedades Proyectivas (Teorema 1.3 y 4.9): El artículo proporciona una caracterización completa de las subvariedades proyectivas y de clase Fujiki en las variedades BG y sus precursores.

  • Una subvariedad $Z$ es proyectiva si y solo si su imagen bajo la fibración lagrangiana es un punto o una "cuasi-diagonal restringida" (una cuasi-diagonal que yace en el núcleo del mapa de suma).
  • Una subvariedad es de clase Fujiki si y solo si su imagen es una curva donde todas las proyecciones a los factores de la curva elíptica tienen el mismo grado.
  • Crucialmente, los autores prueban que cualquier subvariedad de Moishezon en una variedad BG es necesariamente proyectiva.

• Rigidez de las Cuasi-diagonales (Teorema 1.4 y 2.22): El artículo prueba que, para una curva elíptica $E$ fija y un fibrado de línea amplitud $L$, el conjunto de cuasi-diagonales en $E^n$ es, a lo sumo, contable. Este es un resultado de rigidez significativo, que muestra que las cuasi-diagonales no forman familias continuas.

  • Se proporcionan dos pruebas: una puramente geométrico-algebraica (Sección 2.5) y otra utilizando el teorema de correducción y métricas SKT (Sección 5.5).

• Existencia y Escasez (Proposición 1.5 y Corolario 1.6):

  • Aunque siempre existen conjuntos contables de cuasi-diagonales, las cuasi-diagonales "restringidas" (aquellas cuya suma es cero) son raras. Para un fibrado de línea $L$ general, no existen cuasi-diagonales restringidas.
  • Consecuentemente, para una variedad BG general, todas las subvariedades proyectivas están estrictamente contenidas dentro de las fibras de la fibración lagrangiana. No proyectan a curvas en la base $\mathbb{P}^n$.

• Estructura SKT (Teorema 5.16): Los autores establecen que los precursores de BG admiten una métrica pluricerrada (SKT). Este es un resultado no trivial para variedades no-Kähler y sirve como fundamento para la prueba analítica de la contabilidad de las cuasi-diagonales.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma refinar la comprensión de la geometría algebraica de las variedades holomorfas simplécticas no-Kähler. Al desplazar el enfoque hacia los precursores e introducir el concepto de cuasi-diagonales, los autores proporcionan un criterio preciso para la proyectividad que antes faltaba.

La significancia radica en la demostración de la "vacuidad genérica" de las subvariedades proyectivas en la base de la fibración lagrangiana. Mientras que resultados anteriores mostraron que las imágenes de alta dimensión son imposibles, este trabajo prueba que incluso las imágenes de curvas son genéricamente imposibles para las subvariedades proyectivas. El artículo posiciona la escasez de las cuasi-diagonales como una restricción geométrica fundamental en estas variedades, derivada tanto de la rigidez geométrico-algebraica como de la complejo-analítica. El trabajo también destaca la utilidad de las métricas SKT y los espacios de Barlet para estudiar los módulos de curvas en entornos no-Kähler, ofreciendo una nueva perspectiva sobre la clasificación de subvariedades en estos espacios.