Projective subvarieties of Bogomolov-Guan manifolds and quasi-diagonals in products of elliptic curves

技術要約：Bogomolov-Guan前駆体における部分多様体

問題提起
本論文は、Bogomolov-Guan (BG) 多様体およびその前駆体における複素部分多様体の幾何学的構造を調査している。BG多様体は、D. Guanによって構成され、F. Bogomolovによって解析された、非ケーラー的なコンパクト・単連結・ホロモーフィック・シンプレクティック多様体である。[BKKY]による先行研究では、BG多様体の代数的な簡約化がラグランジュ・ファイブレーション $P: BG \to \mathbb{P}^n$ であること、および次元2以上の像を持つ部分多様体は射影的になり得ないことが確立されていたが、曲線へと写る射影的（あるいはMoishezon）な部分多様体の分類は未完であった。中心となる問題は、これら非ケーラー的な設定において、どのような部分多様体が正確に射影的であるかを特徴付け、そのような対象の希少性を理解することである。

手法
著者らは、代数幾何学、複素微分幾何学、およびニル多様体の理論を組み合わせた多角的なアプローチを採用している：

1. 前駆体解析： BG多様体の複雑な構成（Kodaira曲面のヒルベルト・スキームを含む）に直接取り組む代わりに、著者らは「BG前駆体」に焦点を当てている。これらは、楕円曲線の対角作用によるKodaira曲線の積の商として構成される、より単純な複素多様体である。本論文は、BG多様体とその前駆体の有限商との間に、生成的に有限な射が存在することを確立しており、前駆体に関する結果をBG多様体に転送することを可能にしている。
2. 準対角（Quasi-Diagonals）： 導入された核心的な幾何学的対象は「準対角」である。楕円曲線 $E^n$ において、曲線 $S$ がペア $(E, L)$（ここで $L$ はアンプルな線束）に対する準対角であるとは、すべての射影 $p_i, p_j$ に対して線束 $p_i^*L \otimes p_j^*L^{-1}$ が $S$ 上で捩れ（torsion）であることを指す。BG前駆体における射影的部分多様体の分類は、これらの準対角の分類へと還元される。
3. 代数的剛性： 著者らは、主トーリック束とチャーン類の理論を利用している。Blanchardの定理とその一般化を適用し、部分多様体が射影的（またはFujikiクラスC）であるためには、特定の線束の引き戻しが捩れでなければならないことを示す。これにより、問題は準対角の族を研究することへと還元される。
4. 複素解析的ツール： 準対角の希少性を証明するために、著者らは2つの異なる手法を用いている：
   • 代数的： 曲線の普遍族の性質と線束の引き戻しにおける挙動を用いた剛性議論を用い、準対角の非可算な族が存在すると仮定すると矛盾が生じることを示す。
   • 解析的： 著者らは、BG前駆体がプルリクローズド（SKT）計量を持つことを示す。Barlet空間のコンパクト性定理（プルリクローズド多様体上の曲線のBarlet空間に関するGromovのコンパクト性定理）およびCampanaのコアダクション定理を援用することで、そのような曲線のモジュライ空間がコンパクトであることを証明し、準対角の連続的な族が存在し得ないことを示す。

主要な貢献および結果

• 射影的部分多様体の分類（定理 1.3 & 4.9）： 本論文は、BG多様体およびその前駆体における射影的およびFujikiクラスCの部分多様体の完全な特徴付けを提供している。

  • 部分多様体 $Z$ が射影的であるための必要十分条件は、そのラグランジュ・ファイブレーションによる像が、点または「制限付き準対角」（和の写像の核に位置する準対角）であることである。
  • 部分多様体がFujikiクラスCであるための必要十分条件は、その像が、楕円曲線因子へのすべての射影が同じ次数を持つ曲線であることである。
  • 極めて重要なことに、著者らは、BG多様体におけるあらゆるMoishezon部分多様体は必然的に射影的であることを証明している。

• 準対角の剛性（定理 1.4 & 2.22）： 固定された楕円曲線 $E$ とアンプルな線束 $L$ に対して、$E^n$ における準対角の集合は高々可算であることを証明している。これは、準対角が連続的な族を形成しないことを示す重要な剛性結果である。

  • 2つの証明が提供されている：一つは純粋に代数幾何学的（セクション 2.5）であり、もう一つはコアダクション定理とSKT計量を用いたもの（セクション 5.5）である。

• 存在と希少性（命題 1.5 & 系 1.6）：

  • 準対角の可算集合は常に存在するが、「制限付き」準対角（和がゼロになるもの）は稀である。一般的な線束 $L$ に対しては、制限付き準対角は存在しない。
  • したがって、一般的なBG多様体においては、すべての射影的部分多様体は、ラグランジュ・ファイブレーションのファイバーの中に厳密に含まれる。それらは、底空間 $\mathbb{P}^n$ の中の曲線へと射影されることはない。

• SKT構造（定理 5.16）： 著者らは、BG前駆体がプルリクローズド（SKT）計量を持つことを確立している。これは非ケーラー多様体に対する非自明な結果であり、準対角の可算性を証明するための解析的な基礎となっている。

意義および主張
本論文は、非ケーラー的なホロモーフィック・シンプレクティック多様体の代数幾何の理解を精緻化することを主張している。前駆体に焦点を移し、準対角という概念を導入することで、著者らはこれまで欠落していた射影性の正確な基準を提供している。

その意義は、ラグランジュ・ファイブレーションの底における射影的部分多様体の「生成的空虚性（generic emptiness）」の提示にある。先行研究では高次元の像が不可能であることが示されていたが、本研究は、射影的部分多様体にとって曲線への射影さえも一般的（generic）には不可能であることを証明している。本論文は、準対角の希少性を、代数的および複素解析的な剛性から導かれる、これらの多様体に対する根本的な幾何学的制約として位置づけている。また、非ケーラー的な設定における曲線のモジュライの研究におけるSKT計量とBarlet空間の有用性を強調しており、これらの空間における部分多様体の分類に対する新しい視点を提供している。