Adressing Separation: A Firth-corrected Joint Model for Longitudinal and Time-to-event Data with an Application on Dropout from Vocational Training

Resumen Técnico: Abordaje de la separación en modelos conjuntos mediante la corrección de Firth

Planteamiento del problema
Los modelos conjuntos para datos longitudinales y de tiempo hasta el evento se utilizan ampliamente para analizar covariables endógenas variantes en el tiempo (por ejemplo, biomarcadores o niveles de satisfacción) junto con resultados de supervivencia. Sin embargo, estos modelos heredan las limitaciones de sus submódelos de supervivencia, específicamente el problema de la separación. La separación ocurre cuando una covariable categórica predice perfectamente la ausencia de un evento en una categoría específica (por ejemplo, ninguna deserción en un sector vocacional específico). Esto conduce a una verosimilitud monótona, lo que provoca que los coeficientes de regresión diverjan al infinito o se vuelvan inestables, haciendo que la estimación de máxima verosimilitud (MLE) estándar sea ineficaz. Si bien la corrección de Firth se ha establecido para la regresión binaria y los modelos de riesgos proporcionales de Cox para mitigar este sesgo, no se había integrado formalmente en el marco de los modelos conjuntos, lo que limitaba la aplicabilidad de los modelos conjuntos en entornos con eventos raros o covariables altamente desbalanceadas.

Metodología
Los autores proponen un modelo conjunto corregido por Firth implementado dentro de un marco de estimación frecuentista utilizando el algoritmo de Esperanza-Maximización (EM).

1. Estructura del modelo: El modelo consta de dos submódulos vinculados:
   • Un submodelo longitudinal (Modelo Lineal Mixto) que captura la trayectoria de la covariable endógena $m_i(t)$ con interceptos y pendientes aleatorios.
   • Un submodelo de supervivencia (modelo de riesgos proporcionales tipo Cox) donde la función de riesgo depende de covariables basales y del valor actual del proceso longitudinal $m_i(t)$ a través de un parámetro de asociación $\alpha$.
2. Implementación de la corrección de Firth:
   • Los autores derivan el término de corrección necesario para la función de puntuación de los coeficientes del submodelo de supervivencia ($\theta_{surv}$).
   • El sesgo de la MLE se aproxima mediante una expansión de Taylor de segundo orden de la función de puntuación. El término de corrección $c(\theta)$ se deriva como $c(\theta) = \frac{1}{2} \text{tr}\left[ I(\theta)^{-1} \frac{\partial I(\theta)}{\partial \theta} \right]$, donde $I(\theta)$ es la matriz de información de Fisher.
   • Este término se añade a la función de puntuación $S(\theta)$ durante el paso M del algoritmo EM, específicamente para la actualización de Newton-Raphson de los coeficientes de supervivencia: $\hat{\theta}^{(t+1)}_{surv} = \hat{\theta}^{(t)}_{surv} + [I(\hat{\theta}^{(t)}_{surv})]^{-1} S^*(\hat{\theta}^{(t)}_{surv})$, donde $S^*$ es la puntuación corregida.
   • Inicialización: Para asegurar la convergencia, los autores inicializan los coeficientes de regresión exógenos utilizando estimaciones de Máxima Verosimilitud Penalizada de un modelo de Cox clásico corregido por Firth (vía el paquete coxphf de R).
   • Inferencia: Los errores estándar se derivan utilizando la aproximación de diferencia hacia adelante de la matriz Hessiana completa.

Resultados del estudio de simulación
Se realizó un estudio de simulación para evaluar el desempeño del modelo conjunto corregido por Firth (FC-JM) frente al modelo conjunto clásico (JM) y un JM con valores iniciales corregidos por Firth (JMc).

• Reducción del sesgo: En escenarios con separación, el FC-JM produjo estimaciones significativamente menos sesgadas para la covariable separadora en comparación con el JM. Las estimaciones se aproximaron a los valores observados en escenarios sin separación.
• Dependencia de la información: El desempeño de la corrección está impulsado por la curvatura de la verosimilitud, la cual depende del número absoluto de eventos. El FC-JM funcionó mejor en entornos de baja información (tamaños de muestra pequeños, alta censura) donde la separación es más problemática.
• Estabilidad: Aunque el FC-JM redujo el sesgo, se observó un pequeño número de valores atípicos en entornos de datos muy dispersos debido a Hessianas analíticas mal condicionadas, una limitación que no está presente en el JM estándar que aproxima la Hessiana mediante BFGS.
• Otros coeficientes: La corrección no alteró significativamente las estimaciones de los coeficientes no separadores, manteniendo la precisión en todo el modelo.

Aplicación en el mundo real: Deserción en formación profesional
El método se aplicó a datos del Estudio Nacional de Educación Alemana (NEPS) relativos a la deserción en la formación profesional.

• Contexto: El estudio modeló la trayectoria de la satisfacción con la formación (longitudinal) y el riesgo de deserción (tiempo hasta el evento).
• Problema de separación: En la submuestra femenina, el sector de formación profesional "Otras ocupaciones en servicios comerciales" exhibió separación (cero eventos de deserción), lo que causó que el JM clásico produjera un coeficiente infinito y un error estándar inflado.
• Hallazgos:
  • El FC-JM proporcionó estimaciones finitas y estables para el sector separador, indicando que no hay una diferencia significativa en el riesgo de deserción en comparación con el sector de referencia.
  • El modelo logró descomponer los efectos en efectos directos (por ejemplo, el nivel educativo, el compromiso con el campo de trabajo que influyen directamente en el riesgo de deserción) y efectos indirectos (mediados a través de la satisfacción).
  • Los resultados confirmaron que, si bien los factores socioeconómicos y los niveles de compromiso influyeron significativamente en la satisfacción, su efecto directo sobre la deserción fue a menudo no significativo una vez que se tuvo en cuenta la trayectoria de la satisfacción, mientras que la educación y el compromiso con el campo mantuvieron efectos protectores o de riesgo directos.

Significación y Reivindicaciones
El artículo sostiene que la rutina de estimación propuesta corregida por Firth amplía la aplicabilidad de los modelos conjuntos a conjuntos de datos caracterizados por eventos raros o covariables categóricas altamente desbalanceadas donde los métodos clásicos fallan debido a la verosimilitud monótona.

• Contribución metodológica: Proporciona una derivación formal e implementación de la penalización de Firth dentro del algoritmo EM del modelo conjunto, permitiendo la estimación de coeficientes finitos y menos sesgados en casos de separación.
• Contribución sustantiva: En la aplicación a la formación profesional, el modelo ofrece un marco causal más riguroso al modelar explícitamente el papel mediador de la satisfacción. Demuestra que los predictores estructurales a menudo influyen en el riesgo de deserción indirectamente a través de estados afectivos (satisfacción), un mecanismo que se oscurece en los enfoques de dos etapas o de predictores estáticos estándar.
• Limitaciones: Los autores señalan que la implementación actual está restringida a asociaciones de valor actual y covariables exógenas constantes en el tiempo. Además, la dependencia de Hessianas analíticas puede conducir a inestabilidad numérica en datos extremadamente dispersos, lo que sugiere la necesidad de estrategias de estabilización futuras.

El trabajo se presenta como una solución a un modo de fallo de estimación específico, permitiendo a los investigadores utilizar modelos conjuntos en contextos previamente considerados no aptos debido a la separación, mejorando así la robustez de la inferencia en aplicaciones de ciencias sociales y bioestadística que involucran eventos raros.