Adressing Separation: A Firth-corrected Joint Model for Longitudinal and Time-to-event Data with an Application on Dropout from Vocational Training

Résumé technique : Traiter la séparation dans les modèles joints via la correction de Firth

Énoncé du problème
Les modèles joints pour les données longitudinales et de temps de survie sont largement utilisés pour analyser les covariables endogènes variant dans le temps (par exemple, des biomarqueurs ou des niveaux de satisfaction) parallèlement aux résultats de survie. Cependant, ces modèles héritent des limitations de leurs sous-modèles de survie, spécifiquement le problème de la séparation. La séparation se produit lorsqu'une covariable catégorielle prédit parfaitement l'absence d'un événement dans une catégorie spécifique (par exemple, aucun abandon dans un secteur professionnel spécifique). Cela conduit à une vraisemblance monotone, provoquant la divergence des coefficients de régression vers l'infini ou leur instabilité, rendant l'estimation classique par maximum de vraisemblance (MLE) inefficace. Bien que la correction de Firth ait été établie pour la régression binaire et les modèles à risques proportionnels de Cox pour atténuer ce biais, elle n'avait pas été formellement intégrée dans le cadre des modèles joints, limitant l'applicabilité des modèles joints dans des contextes d'événements rares ou de covariables fortement déséquilibrées.

Méthodologie
Les auteurs proposent un modèle joint corrigé par la méthode de Firth, implémenté dans un cadre d'estimation fréquentiste utilisant l'algorithme EM (Expectation-Maximization).

1. Structure du modèle : Le modèle se compose de deux sous-modèles liés :
   • Un sous-modèle longitudinal (modèle linéaire à effets mixtes) capturant la trajectoire de la covariable endogène $m_i(t)$ avec des intercepts et des pentes aléatoires.
   • Un sous-modèle de survie (modèle à risques proportionnels de type Cox) où la fonction de risque dépend des covariables de base et de la valeur actuelle du processus longitudinal $m_i(t)$ via un paramètre d'association $\alpha$.
2. Implémentation de la correction de Firth :
   • Les auteurs dérivent le terme de correction nécessaire pour la fonction de score des coefficients du sous-modèle de survie ($\theta_{surv}$).
   • Le biais de la MLE est approximé à l'aide d'un développement de Taylor au second ordre de la fonction de score. Le terme de correction $c(\theta)$ est dérivé comme $c(\theta) = \frac{1}{2} \text{tr}\left[ I(\theta)^{-1} \frac{\partial I(\theta)}{\partial \theta} \right]$, où $I(\theta)$ est la matrice d'information de Fisher.
   • Ce terme est ajouté à la fonction de score $S(\theta)$ lors de l'étape M de l'algorithme EM, spécifiquement pour la mise à jour de Newton-Raphson des coefficients de survie : $\hat{\theta}^{(t+1)}_{surv} = \hat{\theta}^{(t)}_{surv} + [I(\hat{\theta}^{(t)}_{surv})]^{-1} S^*(\hat{\theta}^{(t)}_{surv})$, où $S^*$ est le score corrigé.
   • Initialisation : Pour assurer la convergence, les auteurs initialisent les coefficients de régression exogènes à l'aide d'estimations de maximum de vraisemblance pénalisées issues d'un modèle de Cox classique corrigé par Firth (via le package R coxphf).
   • Inférence : Les erreurs types sont dérivées de l'approximation par différence avant de la matrice hessienne complète.

Résultats de l'étude de simulation
Une étude de simulation a été menée pour évaluer la performance du modèle joint corrigé par Firth (FC-JM) par rapport au modèle joint classique (JM) et un JM avec des valeurs initiales corrigées par Firth (JMc).

• Réduction du biais : Dans les scénarios de séparation, le FC-JM a produit des estimations nettement moins biaisées pour la covariable séparatrice par rapport au JM. Les estimations se sont rapprochées des valeurs observées dans les scénarios sans séparation.
• Dépendance à l'information : La performance de la correction est dictée par la courbure de la vraisemblance, qui dépend du nombre absolu d'événements. Le FC-JM a été le plus performant dans les contextes de faible information (petits échantillons, forte censure) où la séparation est la plus problématique.
• Stabilité : Bien que le FC-JM ait réduit le biais, un petit nombre de valeurs aberrantes a été observé dans des contextes de données très éparses en raison de Hessiennes analytiques mal conditionnées, une limitation absente du JM standard qui approxime la Hessienne via BFGS.
• Autres coefficients : La correction n'a pas modifié de manière significative les estimations des coefficients non séparateurs, maintenant la précision à travers le modèle.

Application au monde réel : Abandon de la formation professionnelle
La méthode a été appliquée aux données de l'Étude Nationale de l'Éducation en Allemagne (NEPS) concernant l'abandon de la formation professionnelle.

• Contexte : L'étude a modélisé la trajectoire de la satisfaction de formation (longitudinal) et le risque d'abandon (temps de survie).
• Problème de séparation : Dans le sous-échantillon féminin, le secteur de la formation professionnelle « Autres professions des services commerciaux » présentait une séparation (zéro événement d'abandon), provoquant un coefficient infini et une erreur type gonflée dans le JM classique.
• Résultats :
  • Le FC-JM a fourni des estimations finies et stables pour le secteur séparateur, indiquant aucune différence significative de risque d'abandon par rapport au secteur de référence.
  • Le modèle a réussi à décomposer les effets en effets directs (ex: niveau d'éducation, compromis sur le champ de travail influençant directement le risque d'abandon) et effets indirects (médiés par la satisfaction).
  • Les résultats ont confirmé que, bien que les facteurs socio-économiques et les niveaux de compromis influencent significativement la satisfaction, leur effet direct sur l'abandon est souvent non significatif une fois la trajectoire de satisfaction prise en compte, tandis que l'éducation et le compromis sur le champ de travail conservent des effets protecteurs ou de risque directs.

Signification et revendications
L'article affirme que la routine d'estimation proposée, corrigée par la méthode de Firth, étend l'applicabilité des modèles joints aux ensembles de données caractérisés par des événements rares ou des covariables catégorielles fortement déséquilibrées où les méthodes classiques échouent en raison d'une vraisemblance monotone.

• Contribution méthodologique : Elle fournit une dérivation et une implémentation formelles de la pénalité de Firth au sein de l'algorithme EM du modèle joint, permettant l'estimation de coefficients finis et moins biaisés dans les cas de séparation.
• Contribution substantielle : Dans l'application à la formation professionnelle, le modèle offre un cadre causal plus rigoureux en modélisant explicitement le rôle médiateur de la satisfaction. Il démontre que les prédicteurs structurels influencent souvent le risque d'abandon indirectement via les états affectifs (satisfaction), un mécanisme qui est obscurci dans les approches standard à deux étapes ou à prédicteurs statiques.
• Limites : Les auteurs notent que l'implémentation actuelle est restreinte aux associations de valeur actuelle et aux covariables exogènes constantes dans le temps. De plus, le recours aux Hessiennes analytiques peut entraîner une instabilité numérique dans des contextes de données extrêmement éparses, suggérant un besoin de stratégies de stabilisation futures.

Ce travail est présenté comme une solution à un mode d'échec d'estimation spécifique, permettant aux chercheurs d'utiliser des modèles joints dans des contextes auparavant jugés inappropriés en raison de la séparation, améliorant ainsi la robustesse de l'inférence dans les applications de sciences sociales et de biostatistique impliquant des événements rares.