Algebraic cobordism rings of wonderful varieties and matroids

Resumen Técnico: Anillos de Cobordismo Algebraico de Variedades Maravillosas y Matroides

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el cálculo y la comprensión estructural del anillo de cobordismo algebraico $\Omega^*(X)$ para clases específicas de variedades asociadas con matroides: la variedad torica $X_M$ del fan de Bergman de una matroide sin bucles $M$, y la compactificación maravillosa $W_H$ de un arreglo de hiperplanos complejos $H$. Si bien los anillos de Chow $CH^*(X_M)$ y $CH^*(W_H)$ y los anillos K $K_0(X_M)$ y $K_0(W_H)$ han sido estudiados extensamente y se ha demostrado que poseen estructuras combinatorias ricas (incluyendo el "paquete Kähler" e isomorfismos integrales excepcionales entre los anillos de Chow y K), las presentaciones explícitas para sus anillos de cobordismo algebraico $\Omega^*(X_M)$ y $\Omega^*(W_H)$ no estaban disponibles previamente. El cobordismo algebraico, construido por Levine y Morel, es la teoría de cohomología orientada universal, lo que hace que su cálculo sea significativamente más difícil que el de la teoría de Chow o la teoría K, ya que implica la ley de grupo formal universal sobre el anillo de Lazard $L^*$.

Metodología
Los autores emplean una combinación de álgebra combinatoria, la teoría de leyes de grupo formal y la geometría de variedades toricas y de soplados (blow-ups).

1. Marco de Variedades Toricas: Los autores utilizan la descripción del anillo de cobordismo algebraico de una variedad torica suave $X_\Sigma$ proporcionada por Krishna y Uma. Esta presentación involucra generadores correspondientes a los divisores toricos y relaciones derivadas de la combinatoria del fan y la ley de grupo formal universal $F_U$.
2. Presentaciones Combinatorias: Adaptan la presentación de Feichtner–Yuzvinsky para los anillos de Chow de variedades toricas de matroides al contexto del cobordismo algebraico. Esto implica definir un anillo $\Omega^*(M)$ generado por variables indexadas por las matroides planas no vacías, módulo relaciones derivadas de las matroides planas incomparables y la ley de grupo formal.
3. Presentación Simplicial: Un paso metodológico clave es la derivación de una presentación "simplicial" para $\Omega^*(X_M)$. Esto implica un cambio de variables utilizando la inversión de Möbius en el retículo de las planas, elevando los "generadores simpliciales" conocidos en los contextos de la teoría de Chow y K al entorno del cobordismo.
4. Teoremas de Comparación: Los autores aprovechan los teoremas de comparación entre el cobordismo algebraico, la teoría de Chow y el cobordismo complejo ($MU^*$). Específicamente, utilizan el hecho de que para ciertas variedades, el mapa natural $\Omega^*(X) \to CH^*(X)$ permite recuperar $\Omega^*(X)$ como un módulo libre sobre $L^*$ si $CH^*(X)$ es libre sobre $\mathbb{Z}$.
5. Análisis de Inclusión: Para la variedad maravillosa $W_H$, los autores analizan la inclusión canónica $\iota: W_H \hookrightarrow X_{M_H}$. Demuestran que esta inclusión induce isomorfismos en los anillos de cohomología relevantes mediante el estudio del mapa de clase de ciclo y la estructura de $W_H$ como un soplado iterado del espacio proyectivo.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Presentación Simplicial para $\Omega^*(X_M)$:
   El resultado principal es una presentación combinatoria del anillo de cobordismo algebraico de la variedad torica $X_M$ asociada con una matroide sin bucles $M$. El anillo se presenta como un álgebra sobre $L^*$ generada por elementos $h_G$ (elevaciones de generadores simpliciales) para las planas no vacías $G$, sujetos a relaciones que involucran la ley de grupo formal $F_U$:
   $$\Omega^*(X_M) \cong \frac{L^*[h_G : G \neq \emptyset]}{\langle (h_G - h_{G \vee H})(h_H - h_{G \vee H}) \rangle + \langle h_G : \text{rank}(G)=1 \rangle}$$
   Crucialmente, esta presentación produce un isomorfismo de álgebras sobre $L^*$:
   $$\Omega^*(X_M) \cong CH^*(X_M) \otimes_{\mathbb{Z}} L^*$$
   Este resultado implica que para cualquier teoría de cohomología orientada libre $h^*$, $h^*(X_M) \cong \Omega^*(X_M) \otimes_{L^*} h^*(pt)$.

2. Generalización del Isomorfismo Excepcional:
   El isomorfismo $\Omega^*(X_M) \cong CH^*(X_M) \otimes_{\mathbb{Z}} L^*$ generaliza el "isomorfismo excepcional" $K_0(X_M) \cong CH^*(X_M)$ establecido recientemente por Berget–Eur–Spink–Tseng y Larson–Li–Payne–Proudfoot. Los autores señalan que esta propiedad es rara; citan el ejemplo de Speyer de una variedad torica suave proyectiva donde $CH^*(X) \not\cong K_0(X)$, demostrando que el isomorfismo para las variedades toricas de matroides es una característica estructural especial.

3. Isomorfismo para Variedades Maravillosas:
   Los autores demuestran que la inclusión $\iota: W_H \hookrightarrow X_{M_H}$ induce un isomorfismo de anillos de cobordismo algebraico:
   $$\iota^*: \Omega^*(X_{M_H}) \xrightarrow{\sim} \Omega^*(W_H)$$
   Además, establecen que el mapa natural desde el cobordismo algebraico hacia el cobordismo complejo induce un isomorfismo:
   $$\Omega^*(W_H) \xrightarrow{\sim} MU^*(W_H(\mathbb{C}))$$
   Consecuentemente, el anillo de cobordismo algebraico de la variedad maravillosa coincide con su anillo de cobordismo complejo y es isomorfo al producto tensorial de su anillo de Chow con el anillo de Lazard.

4. Dependencia de la Estructura de la Matroide:
   El artículo demuestra que la clase de cobordismo $[W_H \to pt]$ en $\Omega^*(pt)$ (y $MU^*(pt)$) depende únicamente de la matroide subyacente $M_H$ del arreglo de hiperplanos $H$. Esto se demuestra verificando que los números de Chern de $W_H$, que determinan la clase de cobordismo, están determinados enteramente por la combinatoria de $M_H$ a través de la fórmula de Cheng para la clase de Chern total del haz tangente.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar las primeras presentaciones combinatorias explícitas para los anillos de cobordismo algebraico de las variedades toricas de fans de Bergman y las variedades maravillosas de arreglos de hiperplanos. Al establecer el isomorfismo $\Omega^*(X_M) \cong CH^*(X_M) \otimes_{\mathbb{Z}} L^*$, los autores muestran que la estructura compleja de estos anillos está totalmente gobernada por la estructura de su anillo de Chow y la ley de grupo formal universal.

La significancia radica en:

• Unificación: Unifica el estudio de los anillos de Chow, los anillos K y los anillos de cobordismo algebraico para variedades de matroides bajo un único marco, mostrando que el "isomorfismo excepcional" entre la teoría de Chow y la teoría K es una sombra de un isomorfismo más profundo que involucra al cobordismo algebraico.
• Acceso Computacional: Proporciona un método concreto para computar las clases de cobordismo algebraico para estas variedades, que son generalmente difíciles de calcular.
• Invariantes de Matroides: Confirma que los invariantes geométicos profundos (como la clase de cobordismo en $\Omega^*(pt)$) de la compactificación maravillosa son invariantes puramente combinatorios de la matroide subyacente $M_H$, extendiendo esta propiedad desde la teoría de Chow y K hacia la teoría de cohomología orientada universal.

Los autores declaran explícitamente que, si bien proporcionan una fórmula recursiva para la clase de $M_{0,n}$ en un contexto relacionado (vía Ellis-Bloor), la fórmula recursiva explícita para $[W_H \to pt]$ en términos de los generadores del anillo de Lazard sigue siendo una dirección para trabajos futuros. También señalan que el isomorfismo $\Omega^*(X) \cong CH^*(X) \otimes L^*$ no se cumple para todas las variedades toricas suaves proyectivas, resaltando la naturaleza especial de las variedades de matroides.