Algebraic cobordism rings of wonderful varieties and matroids

Résumé Technique : Anneaux de Cobordisme Algébrique des Variétés Merveilleuses et des Matroïdes

Énoncé du Problème
L'article traite du calcul et de la compréhension structurelle de l'anneau de cobordisme algébrique $\Omega^*(X)$ pour des classes spécifiques de variétés associées aux matroïdes : la variété torique $X_M$ du fan de Bergman d'un matroïde sans boucle $M$, et la compactification merveilleuse $W_H$ d'un arrangement de hyperplans complexes $H$. Bien que les anneaux de Chow $CH^*(X_M)$ et $CH^*(W_H)$ ainsi que les anneaux K $K_0(X_M)$ et $K_0(W_H)$ aient été largement étudiés et montrés comme possédant des structures combinatoires riches (incluant le « package Kähler » et des isomorphismes intégraux exceptionnels entre les anneaux de Chow et K), des présentations explicites pour leurs anneaux de cobordisme algébrique $\Omega^*(X_M)$ et $\Omega^*(W_H)$ n'étaient auparavant pas disponibles. Le cobordisme algébrique, construit par Levine et Morel, est la théorie de cohomologie orientée universelle, ce qui rend son calcul nettement plus difficile que celui de la théorie de Chow ou de la théorie K, car il implique la loi de groupe formel universelle sur l'anneau de Lazard $L^*$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison d'algèbre combinatoire, de la théorie des lois de groupe formel, et de la géométrie des variétés toriques et des soufflages (blow-ups).

1. Cadre de la Variété Torique : Les auteurs utilisent la description de l'anneau de cobordisme algébrique d'une variété torique lisse $X_\Sigma$ fournie par Krishna et Uma. Cette présentation implique des générateurs correspondant aux diviseurs toriques et des relations dérivées de la combinatoire du fan et de la loi de groupe formel universelle $F_U$.
2. Présentations Combinatoires : Ils adaptent la présentation de Feichtner–Yuzvinsky pour les anneaux de Chow des variétés toriques matroïdales au contexte du cobordisme algébrique. Cela implique de définir un anneau $\Omega^*(M)$ engendré par des variables indexées par les plats non vides du matroïde, modulo des relations issues de plats incomparables et de la loi de groupe formel.
3. Présentation Simpliciale : Une étape méthodologique clé est la dérivation d'une présentation « simpliciale » pour $\Omega^*(X_M)$. Cela implique un changement de variables utilisant l'inversion de Möbius sur le treillis des plats, élevant les « générateurs simpliciaux » connus dans les contextes de la théorie de Chow et de la théorie K vers le contexte du cobordisme.
4. Théorèmes de Comparaison : Les auteurs exploitent des théorèmes de comparaison entre le cobordisme algébrique, la théorie de Chow et le cobordisme complexe ($MU^*$). Plus précisément, ils utilisent le fait que pour certaines variétés, la application naturelle $\Omega^*(X) \to CH^*(X)$ permet de récupérer $\Omega^*(X)$ comme un $L^*$-module libre si $CH^*(X)$ est libre sur $\mathbb{Z}$.
5. Analyse d'Inclusion : Pour la variété merveilleuse $W_H$, les auteurs analysent l'inclusion canonique $\iota: W_H \hookrightarrow X_{M_H}$. Ils prouvent que cette inclusion induit des isomorphismes sur les anneaux de cohomologie pertinents en étudiant la classe de cycle et la structure de $W_H$ en tant que soufflage itéré de l'espace projectif.

Contributions Clés et Résultats

1. Présentation Simpliciale pour $\Omega^*(X_M)$ :
   Le résultat principal est une présentation combinatoire de l'anneau de cobordisme algébrique de la variété torique $X_M$ associée à un matroïde sans boucle $M$. L'anneau est présenté comme une $L^*$-algèbre engendrée par des éléments $h_G$ (levés des générateurs simpliciaux) pour les plats $G$ non vides, soumis à des relations impliquant la loi de groupe formel $F_U$ :
   $$\Omega^*(X_M) \cong \frac{L^*[h_G : G \neq \emptyset]}{\langle (h_G - h_{G \vee H})(h_H - h_{G \vee H}) \rangle + \langle h_G : \text{rang}(G)=1 \rangle}$$
   Crucialement, cette présentation produit un isomorphisme d'algèbres $L^*$ :
   $$\Omega^*(X_M) \cong CH^*(X_M) \otimes_{\mathbb{Z}} L^*$$
   Ce résultat implique que pour toute théorie de cohomologie orientée libre $h^*$, $h^*(X_M) \cong \Omega^*(X_M) \otimes_{L^*} h^*(pt)$.

2. Généralisation de l'Isomorphisme Exceptionnel :
   L'isomorphisme $\Omega^*(X_M) \cong CH^*(X_M) \otimes_{\mathbb{Z}} L^*$ généralise l'« isomorphisme exceptionnel » $K_0(X_M) \cong CH^*(X_M)$ récemment établi par Berget–Eur–Spink–Tseng et Larson–Li–Payne–Proudfoot. Les auteurs notent que cette propriété est rare ; ils citent l'exemple de Speyer d'une variété torique projective lisse où $CH^*(X) \not\cong K_0(X)$, démontrant que l'isomorphisme pour les variétés toriques matroïdales est une caractéristique structurelle spéciale.

3. Isomorphisme pour les Variétés Merveilleuses :
   Les auteurs prouvent que l'inclusion $\iota: W_H \hookrightarrow X_{M_H}$ induit un isomorphisme des anneaux de cobordisme algébrique :
   $$\iota^*: \Omega^*(X_{M_H}) \xrightarrow{\sim} \Omega^*(W_H)$$
   De plus, ils établissent que la application naturelle du cobordisme algébrique vers le cobordisme complexe induit un isomorphisme :
   $$\Omega^*(W_H) \xrightarrow{\sim} MU^*(W_H(\mathbb{C}))$$
   Par conséquent, l'anneau de cobordisme algébrique de la variété merveilleuse coïncide avec son anneau de cobordisme complexe et est isomorphe au produit tensoriel de son anneau de Chow avec l'anneau de Lazard.

4. Dépendance de la Structure du Matroïde :
   L'article démontre que la classe de cobordisme $[W_H \to pt]$ dans $\Omega^*(pt)$ (et $MU^*(pt)$) dépend uniquement du matroïde sous-jacent $M_H$ de l'arrangement d'hyperplans $H$. Ceci est démontré en vérifiant que les nombres de Chern de $W_H$, qui déterminent la classe de cobordisme, sont déterminés entièrement par la combinatoire de $M_H$ via la formule de Cheng pour la classe de Chern totale du fibré tangent.

Signification et Revendications
L'article affirme fournir les premières présentations combinatoires explicites des anneaux de cobordisme algébrique des variétés toriques de fans de Bergman et des variétés merveilleuses d'arrangements d'hyperplans. En établissant l'isomorphisme $\Omega^*(X_M) \cong CH^*(X_M) \otimes_{\mathbb{Z}} L^*$, les auteurs montrent que la structure complexe de ces anneaux est entièrement gouvernée par la structure de leur anneau de Chow et la loi de groupe formel universelle.

La signification réside dans :

• Unification : Il unifie l'étude des anneaux de Chow, des anneaux K et des anneaux de cobordisme algébrique pour les variétés matroïdales sous un cadre unique, montrant que l'« isomorphisme exceptionnel » entre la théorie de Chow et la théorie K est l'ombre d'un isomorphisme plus profond impliquant le cobordisme algébrique.
• Accessibilité Computationnelle : Il fournit une méthode concrète pour calculer les classes de cobordisme algébrique pour ces variétés, qui sont généralement difficiles à calculer.
• Invariants Matroïdaux : Il confirme que les invariants géométriques profonds (comme la classe de cobordisme $[W_H \to pt]$ dans $\Omega^*(pt)$ ou $MU^*(pt)$) de la compactification merveilleuse sont des invariants purement combinatoires du matroïde sous-jacent, étendant cette propriété de la théorie de Chow et de la théorie K à la théorie de cohomologie orientée universelle.

Les auteurs déclarent explicitement que bien qu'ils fournissent une formule récursive pour la classe de $M_{0,n}$ dans un contexte lié (via Ellis-Bloor), la formule récursive explicite pour $[W_H \to pt]$ en termes des générateurs de l'anneau de Lazard reste une direction pour des travaux futurs. Ils notent également que l'isomorphisme $\Omega^*(X) \cong CH^*(X) \otimes L^*$ ne tient pas pour toutes les variétés toriques lisses projectives, soulignant la nature spéciale des variétés matroïdales.