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Split primes and the Elekes-Rónyai problem

Este artículo presenta un contraejemplo al problema de Elekes-Rónyai al demostrar la existencia de conjuntos finitos arbitrariamente grandes $A \subset \mathbb{R}$ donde la imagen del polinomio no aditivo y no multiplicativo $x+y+(x-y)^2$ es significativamente menor que cuadrática, específicamente acotada por $|A|^{2-c}$ para alguna constante absoluta $c>0$ .

Autores originales: Cosmin Pohoata

Publicado 2026-06-12

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CC BY 4.0

Autores originales: Cosmin Pohoata

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

La Gran Pregunta: ¿Puedes Esconder el Caos?

Imagina que tienes una máquina gigante (una fórmula matemática) que toma dos números, $x$ e $y$ , y escupe un nuevo número. Llamemos a esta máquina $f$ .

Ahora, imagina que tienes una gran bolsa de números, llamémosla Conjunto A. Tomas cada par posible de números de esta bolsa, los introduces en la máquina y recolectas todos los resultados. Esta colección de resultados se llama el Conjunto Imagen.

El Acertijo:
Los matemáticos se han preguntado durante mucho tiempo: si eliges una máquina "complicada" (una que no sea simplemente sumar o multiplicar números de forma sencilla), ¿podrás alguna vez organizar tu bolsa de números para que la máquina produzca muy pocos resultados únicos?

Las Máquinas "Fáciles": Si tu máquina es solo sumar ( $x+y$ ) o multiplicar ( $x \times y$ ), puedes engañarla fácilmente. Si introduces una progresión aritmética (como 1, 2, 3, 4), las sumas se mantienen pequeñas y predecibles. Si introduces una progresión geométrica (como 2, 4, 8, 16), los productos se mantienen pequeños. En estos casos, el número de resultados únicos crece lentamente (linealmente) a medida que añades más números a tu bolsa.
Las Máquinas "Difíciles": El famoso problema de Elekes-Rónyai preguntaba: ¿Qué pasa si la máquina no es simple? ¿Qué pasa si es una mezcla, como $x + y + (x-y)^2$ ? La creencia predominante (una conjetura de Elekes) era que para estas máquinas "difíciles", sin importar qué tan ingeniosamente elijas tus números, el número de resultados únicos explotará. Debería crecer casi tan rápido como el cuadrado del tamaño de tu bolsa (si tienes $N$ números, deberías obtener aproximadamente $N^2$ resultados únicos).

El Gran Avance: El "Tamiz Mágico"

En este artículo, el autor, Cosmin Pohoata, dice: "En realidad, puedes engañar a la máquina difícil".

Él demuestra que existe una máquina "difícil" específica ( $f(x, y) = x + y + (x-y)^2$ ) y una forma de elegir números tal que el número de resultados únicos sea mucho menor de lo esperado. No es solo un poco menor; es significativamente menor, rompiendo la regla que todos pensaban que era inquebrantable.

¿Cómo lo hizo? (La Analogía)

Para entender el truco, imagina que estás intentando esconder un conjunto específico de llaves en un enorme edificio de muchos pisos.

El Edificio (El Sistema Numérico): En lugar de mirar números normales, el autor construye un mundo numérico especial de alta dimensión (una estructura matemática llamada cuerpo numérico). Piensa en esto como un edificio con miles de pisos.
Las Cerraduras (Los Primos): Él elige un conjunto especial de "cerraduras" (números primos) que tienen una propiedad muy específica: se dividen perfectamente en muchas habitaciones independientes en cada piso del edificio.
La Trampa (Las Clases de Residuos): El autor diseña su máquina para que, sin importar qué números pongas, el resultado deba aterrizar en un rincón muy específico y diminuto del edificio.
- Imagina que en cada piso, la máquina está obligada a aterrizar solo en "habitaciones con número par" o "habitaciones con puertas rojas".
- Debido a que la máquina tiene que cumplir esta regla en cada uno de los pisos simultáneamente, el número de lugares posibles donde puede aterrizar se vuelve increíblemente pequeño.
El Resultado: Aunque el edificio es enorme (que representa un gran conjunto de números), las habitaciones "permitidas" son tan pocas que la máquina produce muy pocos resultados únicos.

El Ingrediente Secreto de los "Primos Partidos"

El ingrediente secreto es algo llamado Primos Partidos (Split Primes).

En la matemática normal, un número primo puede actuar como una pared única y sólida.
En el mundo numérico especial de este autor, estos primos se "parten" como un árbol que se ramifica. Un primo se convierte en muchos "campos de residuo" independientes (como muchas habitaciones pequeñas y separadas).
El autor utiliza una torre de estos mundos numéricos, haciéndola cada vez más alta (dimensiones más altas).
En cada pequeña habitación, la máquina está obligada a producir un número "cuadrado" (como 0, 1, 4, 9). Dado que los cuadrados son raros en comparación con todos los números, esto restringe la salida.
Debido a que los primos se parten en muchas habitaciones, esta restricción ocurre una y otra vez. Las restricciones se multiplican, creando un "cuello de botella" que comprime el número de resultados únicos drásticamente.

El Bono de "Doble de Tamaño Pequeño"

El artículo también muestra algo aún más genial. No solo la máquina produce pocos resultados, sino que los números en la bolsa también tienen una propiedad especial: si sumas dos números cualesquiera de la bolsa, no obtienes demasiados números nuevos.

Analogía: Imagina un grupo de personas donde, si las emparejas para formar nuevos equipos, el número de equipos únicos formados sigue siendo relativamente pequeño. Esto hace que la "bolsa de números" sea muy estructurada y eficiente, lo que ayuda a que el truco funcione aún mejor.

La Conclusión

El autor construyó con éxito un contraejemplo. Demostró que para la fórmula específica $x + y + (x-y)^2$ , se pueden encontrar conjuntos enormes de números donde el número de salidas únicas es aproximadamente $N^{2-c}$ (donde $c$ es un número positivo pequeño).

Esto significa que la salida es subcuadrática. Crece más lento que el cuadrado del tamaño de la entrada. Esto refuta la conjetura de larga data de que las fórmulas "difíciles" deben producir casi $N^2$ resultados únicos.

En resumen: El autor encontró un "vacío legal" matemático utilizando un sistema numérico complejo de alta dimensión y números primos especiales para forzar a una fórmula complicada a comportarse como una simple, manteniendo el número de resultados únicos sorprendentemente bajo.

Resumen Técnico: Primos Divididos y el Problema de Elekes-Rónyai

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de Elekes–Rónyai, una cuestión central en la combinatoria aritmética y la geometría de incidencia. El problema investiga las propiedades de expansión de los polinomios bivariados $f \in \mathbb{R}[x, y]$ sobre conjuntos finitos $A, B \subset \mathbb{R}$ . Específicamente, pregunta por el tamaño mínimo posible del conjunto imagen $f(A, B) = \{f(a, b) : a \in A, b \in B\}$ cuando $|A| = |B| = n$ .

Se establece que si $f$ es "especial" —es decir, si es aditiva ( $f(x, y) = g(u(x) + v(y))$ ) o multiplicativa ( $f(x, y) = g(u(x)v(y)$ )— el tamaño de la imagen puede ser lineal en $n$ (por ejemplo, eligiendo $A$ y $B$ como progresiones aritméticas o geométricas). Para polinomios "no especiales", Elekes y Rónyai (2000) demostraron cualitativamente que el tamaño de la imagen debe ser superlineal ( $|f(A, B)|/n \to \infty$ ). Una conjetura prominente de Elekes postula un límite cuantitativo: para todo polinomio no especial y para cada $\epsilon > 0$ , existe una constante $C_{f, \epsilon}$ tal que $|f(A, B)| \ge C_{f, \epsilon} n^{2-\epsilon}$ .

Metodología y Construcción
El artículo construye un contraejemplo a la conjetura de Elekes utilizando una combinación de teoría de números algebraicos, geometría de redes y una aplicación novedosa de un principio de criba "local-a-global".

El Polinomio: El autor se centra en el polinomio específico no especial $f(x, y) = x + y + (x - y)^2$ .
Aporte de la Teoría de Números Algebraicos: La construcción se basa en una torre de cuerpos de números totalmente reales $K_i$ con grados $d_i \to \infty$ y discriminantes de raíz acotados (basado en resultados de Hajir, Maire y Ramakrishna). Crucialmente, existe un conjunto infinito de primos racionales $P$ que se dividen completamente en cada cuerpo de esta torre.
Restricción de Residuos Locales: El autor define un polinomio auxiliar $f_Q(x, y) = Q(x + y) + (x - y)^2$ , donde $Q$ es un producto de primos distintos de $P$ . Módulo cualquier ideal primo $\mathfrak{p}$ que divida a $Q$ , el término $Q(x+y)$ se anula, forzando que $f_Q(x, y) \equiv (x-y)^2 \pmod{\mathfrak{p}}$ . En consecuencia, la imagen de $f_Q$ en el cuerpo de residuos $\mathbb{F}_p$ está restringida al conjunto de residuos cuadráticos (cuadrados), que tiene una densidad de aproximadamente $1/2$ .
Construcción Global mediante Redes:
- El autor selecciona un cuerpo $K$ de grado $d$ de la torre y considera una caja de Minkowski simétrica $B_K(X)$ en el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ .
- Mediante el Teorema de la Restricción China, la restricción a los residuos cuadráticos módulo cada factor primo de $Q$ se acumula a través de los $d$ cuerpos de residuos independientes generados por los primos de división. Esto fuerza a que la imagen de $f_Q$ resida en un conjunto de clases de residuos con una densidad $\rho^d$ , donde $\rho < 1$ .
- Utilizando estimaciones de la geometría de números (el lema de Blichfeldt y argumentos de empaquetamiento), el autor muestra que el número de puntos enteros en la caja de Minkowski crece exponencialmente con $d$ (específicamente $\sim X^d$ ), mientras que el número de clases de residuos permitidas crece como $(\rho Q)^d$ .
- Debido a que $\rho < 1$ , el factor de "ahorro por congruencia" $\rho^d$ domina el crecimiento del tamaño del conjunto, resultando en un tamaño de imagen polinómica que es una potencia fija menor que 2.

Resultados Clave
El artículo establece el siguiente teorema principal:

Teorema 1.1: Existen conjuntos finitos arbitrariamente grandes $A \subset \mathbb{R}$ y una constante absoluta $c > 0$ tales que para $f(x, y) = x + y + (x - y)^2$ :
$|f(A, A)| \le |A|^{2-c}$
Además, para cualquier $\epsilon > 0$ fijo, los conjuntos pueden elegirse de tal manera que el doble de la suma sea pequeño ( $|A+A| \le |A|^{1+\epsilon}$ ) manteniendo al mismo tiempo el límite de la imagen $|f(A, A)| \le |A|^{2-c_\epsilon}$ .
Verificación de No Especialidad: El artículo demuestra rigurosamente que $f(x, y) = x + y + (x - y)^2$ no es ni aditiva ni multiplicativa sobre $\mathbb{C}$ , confirmando que es un candidato válido para el problema de Elekes–Rónyai.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma refutar la conjetura de Elekes respecto al límite inferior cercano a cuadrático para polinomios no especiales. Al demostrar que un polinomio no especial específico puede tener un tamaño de imagen de $O(n^{2-c})$ (donde $c > 0$ es una constante), el autor muestra que la cota conjeturada de $n^{2-\epsilon}$ es falsa.

La construcción se describe como una inversión de un método de "criba grande combinatoria". Mientras que los métodos de criba típicos utilizan la ramificación local para probar que los conjuntos con multiplicidad acotada deben ser pequeños, este trabajo utiliza la ramificación local (primos de división) para forzar los valores hacia una pequeña colección de clases de residuos locales, construyendo así un conjunto grande con una imagen pequeña.

El artículo señala que la construcción fue anunciada por primera vez en una publicación de blog en junio de 2026 y depende de avances recientes en el problema de las distancias unitarias de Erdős y la conjetura de suma-producto, utilizando específicamente cajas de Minkowski simétricas de alta dimensión y torres de discriminante de raíz acotado. El trabajo proporciona una prueba formal y un contexto detallado para estos contraejemplos.