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Split primes and the Elekes-Rónyai problem

Este artigo apresenta um contraexemplo ao problema de Elekes-Rónyai ao demonstrar a existência de conjuntos finitos arbitrariamente grandes $A \subset \mathbb{R}$ onde a imagem do polinômio não aditivo e não multiplicativo $x+y+(x-y)^2$ é significativamente menor que quadrática, especificamente limitada por $|A|^{2-c}$ para alguma constante absoluta $c>0$ .

Autores originais: Cosmin Pohoata

Publicado 2026-06-12

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CC BY 4.0

Autores originais: Cosmin Pohoata

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

A Grande Questão: Você Consegue Esconder o Caos?

Imagine que você tem uma máquina gigante (uma fórmula matemática) que recebe dois números, $x$ e $y$ , e cospe um novo número. Vamos chamar essa máquina de $f$ .

Agora, imagine que você tem um grande saco de números, vamos chamá-lo de Conjunto A. Você pega todos os pares possíveis de números desse saco, alimenta a máquina com eles e coleta todos os resultados. Essa coleção de resultados é chamada de Conjunto Imagem.

O Enigma:
Matemáticos há muito tempo se perguntam: se você escolher uma máquina "complicada" (uma que não seja apenas somar ou multiplicar números de uma forma simples), você consegue algum dia organizar seu saco de números de modo que a máquina produza muito poucos resultados únicos?

As Máquinas "Fáceis": Se sua máquina é apenas somar ( $x+y$ ) ou multiplicar ( $x \times y$ ), você pode facilmente enganá-la. Se você colocar uma progressão aritmética (como 1, 2, 3, 4), as somas permanecem pequenas e previsíveis. Se você colocar uma progressão geométrica (como 2, 4, 8, 16), os produtos permanecem pequenos. Nesses casos, o número de resultados únicos cresce lentamente (linearmente) à medida que você adiciona mais números ao seu saco.
As Máquinas "Difíceis": O famoso problema de Elekes-Rónyai perguntou: e se a máquina não for simples? E se for uma mistura, como $x + y + (x-y)^2$ ? A crença predominante (uma conjectura de Elekes) era que para essas máquinas "difíceis", não importa o quão inteligentemente você escolha seus números, o número de resultados únicos irá explodir. Deve crescer quase tão rápido quanto o quadrado do tamanho do seu saco (se você tem $N$ números, deve obter aproximadamente $N^2$ resultados únicos).

O Avanço: O "Crivo Mágico"

Neste artigo, o autor, Cosmin Pohoata, diz: "Na verdade, você consegue enganar a máquina difícil."

Ele prova que existe uma máquina "difícil" específica ( $f(x, y) = x + y + (x-y)^2$ ) e uma maneira de escolher números de modo que o número de resultados únicos seja muito menor do que o esperado. Não é apenas um pouco menor; é significativamente menor, quebrando a regra que todos pensavam ser inquebrável.

Como Ele Fez Isso? (A Analogia)

Para entender o truque, imagine que você está tentando esconder um conjunto específico de chaves em um enorme edifício de vários andares.

O Edifício (O Sistema Numérico): Em vez de olhar para números normais, o autor constrói um mundo numérico especial de alta dimensão (uma estrutura matemática chamada corpo de números ou number field). Pense nisso como um edifício com milhares de andares.
As Fechaduras (Os Primos): Ele escolhe um conjunto especial de "fechaduras" (números primos) que possuem uma propriedade muito específica: eles se dividem perfeitamente em muitas salas independentes em cada andar do edifício.
A Armadilha (As Classes de Resíduo): O autor projeta sua máquina para que, não importa quais números você coloque, a saída deve cair em um canto muito específico e minúsculo do edifício.
- Imagine que, em cada andar, a máquina é forçada a cair apenas em "quartos de números pares" ou "quartos com portas vermelhas".
- Como a máquina tem que satisfazer essa regra em cada um dos andares simultaneamente, o número de lugares possíveis onde ela pode terminar torna-se incrivelmente pequeno.
O Resultado: Embora o edifício seja enorme (representando um grande conjunto de números), os quartos "permitidos" são tão poucos que a máquina produz muito poucos resultados únicos.

O Ingrediente Secreto dos "Primos Partidos" (Split Primes)

O ingrediente secreto é algo chamado Primos Partidos (Split Primes).

Na matemática normal, um número primo pode agir como uma única parede sólida.
No mundo numérico especial deste autor, esses primos "se partem" como uma árvore ramificando-se. Um primo torna-se muitos "campos de resíduos" independentes (como muitas salas pequenas e separadas).
O autor usa uma torre desses mundos numéricos, tornando-os cada vez mais altos (dimensões mais altas).
Em cada pequena sala, a máquina é forçada a produzir um número "quadrado" (como 0, 1, 4, 9). Como os quadrados são raros em comparação com todos os números, isso restringe a saída.
Como os primos se partem em muitas salas, essa restrição acontece repetidamente. As restrições se multiplicam, criando um "gargalo" que espreme o número de resultados únicos drasticamente.

O Bônus do "Pequeno Dobramento" (Small Doubling)

O artigo também mostra algo ainda mais legal. Não apenas a máquina produz poucos resultados, mas os números no saco também têm uma propriedade especial: se você somar quaisquer dois números do saco, você não obtém muitos números novos.

Analogia: Imagine um grupo de pessoas onde, se elas se unirem para formar novas equipes, o número de equipes únicas formadas ainda é relativamente pequeno. Isso faz com que o "saco de números" seja muito estruturado e eficiente, o que ajuda o truque a funcionar ainda melhor.

A Conclusão

O autor construiu com sucesso um contraexemplo. Ele mostrou que, para a fórmula específica $x + y + (x-y)^2$ , você pode encontrar conjuntos enormes de números onde o número de saídas únicas é aproximadamente $N^{2-c}$ (onde $c$ é um pequeno número positivo).

Isso significa que a saída é subquadrática. Ela cresce mais devagar do que o quadrado do tamanho da entrada. Isso desmente a conjectura de longa data de que fórmulas "difíceis" devem produzir quase $N^2$ resultados únicos.

Em resumo: O autor encontrou um "brecha" matemática usando um sistema numérico complexo de alta dimensão e números primos especiais para forçar uma fórmula complicada a se comportar como uma fórmula simples, mantendo o número de resultados únicos surpreendentemente baixo.

Resumo Técnico: Primos Divididos e o Problema de Elekes-Rónyai

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema de Elekes–Rónyai, uma questão central na combinatória aditiva e geometria de incidência. O problema investiga as propriedades de expansão de polinômios bivariados $f \in \mathbb{R}[x, y]$ sobre conjuntos finitos $A, B \subset \mathbb{R}$ . Especificamente, pergunta-se pelo tamanho mínimo possível do conjunto imagem $f(A, B) = \{f(a, b) : a \in A, b \in B\}$ quando $|A| = |B| = n$ .

Estabelece-se que, se $f$ for "especial" — significando que é ou aditiva ( $f(x, y) = g(u(x) + v(y))$ ) ou multiplicativa ( $f(x, y) = g(u(x)v(y))$ ) — o tamanho da imagem pode ser linear em $n$ (por exemplo, escolhendo $A$ e $B$ como progressões aritméticas ou geométricas). Para polinômios "não especiais", Elekes e Rónyai (2000) provaram qualitativamente que o tamanho da imagem deve ser superlinear ( $|f(A, B)|/n \to \infty$ ). Uma conjectura proeminente de Elekes postula um limite quantitativo: para todo polinômio não especial e para todo $\epsilon > 0$ , existe uma constante $C_{f, \epsilon}$ tal que $|f(A, B)| \ge C_{f, \epsilon} n^{2-\epsilon}$ .

Metodologia e Construção
O artigo constrói um contraexemplo à conjectura de Elekes usando uma combinação de teoria algébrica dos números, geometria de redes (lattices) e uma aplicação inédita de um princípio de crivo "local-para-global".

O Polinômio: O autor foca no polinômio específico não especial $f(x, y) = x + y + (x - y)^2$ .
Input da Teoria Algébrica dos Números: A construção baseia-se em uma torre de corpos numéricos totalmente reais $K_i$ com graus $d_i \to \infty$ e discriminantes de raiz limitados (baseado em resultados de Hajir, Maire e Ramakrishna). Crucialmente, existe um conjunto infinito de primos racionais $P$ que se dividem completamente em cada campo desta torre.
Restrição de Resíduo Local: O autor define um polinômio auxiliar $f_Q(x, y) = Q(x + y) + (x - y)^2$ , onde $Q$ é um produto de primos distintos de $P$ . Módulo qualquer ideal primo $\mathfrak{p}$ que divide $Q$ , o termo $Q(x+y)$ desaparece, forçando $f_Q(x, y) \equiv (x-y)^2 \pmod{\mathfrak{p}}$ . Consequentemente, a imagem de $f_Q$ no corpo resíduo $\mathbb{F}_p$ é restrita ao conjunto de resíduos quadráticos (quadrados), que possui densidade aproximadamente de $1/2$ .
Construção Global via Redes:
- O autor seleciona um corpo $K$ de grau $d$ da torre e considera uma caixa de Minkowski simétrica $B_K(X)$ no anel de inteiros $\mathcal{O}_K$ .
- Pelo Teorema Chinês dos Restos, a restrição aos resíduos quadráticos módulo cada fator primo de $Q$ se acumula através dos $d$ corpos resíduos independentes gerados pelos primos de divisão. Isso força a imagem de $f_Q$ a residir em um conjunto de classes de resíduos com densidade $\rho^d$ , onde $\rho < 1$ .
- Usando estimativas de geometria dos números (Lema de Blichfeldt e argumentos de empacotamento), o autor mostra que o número de pontos inteiros na caixa de Minkowski cresce exponencialmente com $d$ (especificamente $\sim X^d$ ), enquanto o número de classes de resíduos permitidas cresce como $(\rho Q)^d$ .
- Como $\rho < 1$ , o fator de "economia de congruência" $\rho^d$ domina o crescimento do tamanho do conjunto, resultando em um tamanho de imagem polinomial que é uma potência fixa menor que 2.

Principais Resultados
O artigo estabelece o seguinte teorema principal:

Teorema 1.1: Existem conjuntos finitos arbitrariamente grandes $A \subset \mathbb{R}$ e uma constante absoluta $c > 0$ tais que para $f(x, y) = x + y + (x - y)^2$ :
$|f(A, A)| \le |A|^{2-c}$
Além disso, para qualquer $\epsilon > 0$ fixo, os conjuntos podem ser escolhidos de modo que o dobro aditivo seja pequeno ( $|A+A| \le |A|^{1+\epsilon}$ ) enquanto mantém o limite da imagem $|f(A, A)| \le |A|^{2-c_\epsilon}$ .
Verificação de Não Especialidade: O artigo prova rigorosamente que $f(x, y) = x + y + (x - y)^2$ não é nem aditivo nem multiplicativo sobre $\mathbb{C}$ , confirmando que é um candidato válido para o problema de Elekes–Rónyai.

Significância e Alegações
O artigo afirma refutar a conjectura de Elekes referente ao limite inferior quase quadrático para polinômios não especiais. Ao demonstrar que um polinômio não especial específico pode ter um tamanho de imagem de $O(n^{2-c})$ (onde $c > 0$ é uma constante), o autor mostra que a conjectura do limite de $n^{2-\epsilon}$ é falsa.

A construção é descrita como uma inversão de um método de "crivo grande combinatório". Enquanto os métodos de crivo típicos usam ramificação local para provar que conjuntos com multiplicidade limitada devem ser pequenos, este trabalho usa ramificação local (primos de divisão) para forçar valores para dentro de uma pequena coleção de classes de resíduos locais, construindo assim um conjunto grande com uma imagem pequena.

O artigo observa que a construção foi anunciada pela primeira vez em uma postagem de blog em junho de 2026 e baseia-se em avanços recentes no problema da distância unitária de Erdős e na conjectura soma-produto, utilizando especificamente caixas de Minkowski simétricas de alta dimensão e torres de discriminante de raiz limitado. O trabalho fornece uma prova formal e contexto detalhado para esses contraexemplos.