Every natural number is a sum of distinct semiprime unit fractions

Resumen Técnico: "Todo número natural es una suma de fracciones unitarias semiprimas distintas"

Planteamiento del problema
El artículo aborda un caso específico del problema de Erdős–Graham sobre fracciones egipcias con denominadores restringidos. El problema general pregunta si, para un denominador libre de cuadrados $b$, todo racional $a/b$ puede representarse como una suma de fracciones unitarias distintas $1/n_i$ donde cada $n_i$ es un producto de exactamente $\omega$ primos distintos.

• Contexto: Para $\omega \ge 3$, el caso entero ($b=1$) fue probado por Butler, Erdős y Graham (BEG15) en 2015. Ellos conjeturaron que el resultado se cumple para $\omega = 2$ (denominadores semiprimos), pero no pudieron probarlo, señalando que el "alimento" (feed) combinatorio que impulsa su inducción degenera a medida que $\omega$ disminuye.
• Objetivo: Este artículo resuelve el caso entero ($b=1$) para $\omega = 2$, demostrando que todo número natural $m \ge 1$ es una suma finita de fracciones unitarias distintas con denominadores semiprimos. Además, extiende esto a números racionales $a/b$ (con $b$ libre de cuadrados) por encima de un umbral explícito y demuestra el caso racional completo para $\omega = 3$.

Metodología
La demostración adapta y modifica el marco de inducción establecido por BEG15. El mecanismo central consiste en analizar el conjunto de sumas de subconjuntos de conjuntos "átomo" específicos derivados de los primoriales.

1. Reducción a sumas de subconjuntos:
   El problema se reduce a demostrar que, para un número natural $m$, existe un $N$ tal que $P_N m$ (donde $P_N$ es el $N$-ésimo primorial) pertenece al conjunto de sumas de subconjuntos $L_2(N)$ del conjunto $D_2(N) = \{ P_N / (p_i p_j) : 1 \le i < j \le N \}$.

2. El esqueleto de la inducción:
   La demostración se basa en establecer que $L_2(N)$ contiene un "bloque central" de enteros $[\lceil \sigma_2(N)/6 \rceil, \lfloor 5\sigma_2(N)/6 \rfloor]$, donde $\sigma_2(N)$ es la suma de los elementos en $D_2(N)$.

• Caso base: Verificado computacionalmente para $N_0 = 10$ utilizando un bitset empaquetado para comprobar la alcanzabilidad de la suma de subconjuntos sobre 45 átomos.
• Paso de inducción ($N \to N+1$): El paso utiliza la recursión de división $L_2(N+1) = L_1(N) + p_{N+1} L_2(N)$, donde $L_1(N)$ es el conjunto de sumas de subconjuntos de los recíprocos de primos individuales (el "alimento").

3. Superación de la obstrucción de $\omega=2$:
   En el caso $\omega=3$, el alimento $L_1(N)$ es un conjunto rico. En el caso $\omega=2$, el alimento colapsa a las sumas de subconjuntos de primos individuales, lo cual es estructuralmente "delgado". El método de BEG15 falló aquí porque el argumento de "conexión de rachas" (runs-connect) requería un conjunto interno completo en residuos que no existía en el caso degenerado.

• Nueva visión: El autor observa que en la recursión $\omega=2$, la ventana de cobertura (el intervalo de valores objetivo cubiertos por un solo elemento del alimento) es siempre al menos tan larga como todo el rango del alimento. En consecuencia, la ventana debe contener uno de los extremos del alimento ($0$o$\sigma_1(N)$).
• Estrategia: En lugar de intentar restaurar la estructura interna al alimento delgado, la demostración utiliza el alimento directamente como el objeto completo en residuos. La inducción tiene éxito si el alimento alcanza cada clase de residuo módulo el nuevo primo $q = p_{N+1}$ "lo suficientemente pronto" (dentro de una longitud de franja específica).

4. Verificación analítica y computacional:
   La demostración reduce la dificultad a una única desigualdad: $Y_0(N) \le \beta(N)$, donde $Y_0(N)$ es el radio de inicio para la completitud de residuos del alimento, y $\beta(N)$ es la longitud de la franja disponible.

• Rango finito ($10 \le N \le 299$): Verificado mediante aritmética entera exacta utilizando un algoritmo de tipo Dijkstra sobre el grupo de residuos $\mathbb{Z}_q$.
• Cola analítica ($N \ge 300$): Probado usando cotas de Chebyshev elementales sobre brechas de primos y la monotonicidad de la suma de los recíprocos de los primos.
• Completitud de residuos: Para valores pequeños de $N$ donde el teorema de adición de Olson no se aplica estrictamente, la completitud de residuos se verifica computacionalmente.

Resultados clave

1. Teorema 1.2 (Caso entero): Todo número natural $m \ge 1$ puede escribirse como una suma finita de fracciones unitarias distintas con denominadores semiprimos. La demostración es no constructiva y efectiva, pero produce límites enormes sobre el tamaño de los denominadores (aproximadamente $N \sim \exp(\exp(O(\sqrt{m})))$).
2. Extensión racional (Teorema 7.1 y 7.4): Para cualquier denominador libre de cuadrados $b$, todo racional $a/b \ge \min\{B_{N_b}/6, 1/5\}$ es representable como una suma de fracciones unitarias semiprimas distintas. Aquí $B_{N_b}$ depende del mayor factor primo de $b$.
3. Teorema de $\omega=3$ racional (Teorema 8.1): Todo racional positivo $a/b$ con $b$ libre de cuadrados es una suma de fracciones unitarias distintas con denominadores esféndicos (productos de tres primos distintos). Esto se logra mediante un argumento de "elevación" (lift): multiplicar el objetivo por un primo grande $r$ para moverlo al rango representable del teorema $\omega=2$, y luego dividir por $r$.
4. $\omega \ge 3$ general (Corolario 8.6): Por descenso, el resultado se extiende a todos los $\omega \ge 3$.

Significado y problemas abiertos

• Resolución de una conjetura: El artículo proporciona la primera demostración completa del caso entero $\omega=2$, un problema dejado como conjetura por BEG15. Demuestra que el régimen de "alimento delgado" puede manejarse adaptando la inducción para que dependa de la cobertura de los extremos en lugar de la estructura interna.
• Resultados incondicionales: Todos los resultados son incondicionales, apoyándose en teoría de números elemental y computaciones finitas verificadas mediante scripts independientes.
• El núcleo abierto restante: El artículo identifica como el único caso abierto restante el "núcleo profundo" del problema $\omega=2$: los racionales $a/b$ por debajo del umbral $\min\{B_{N_b}/6, 1/5\}$.
  • El autor lo reduce a una única conjetura explícita: La Conjetura del Suelo Libre de Brechas (GFF), que postula que el suelo libre de brechas del conjunto de sumas de subconjuntos semiprimos tiende a cero cuando $N \to \infty$. Si esto es cierto, resolvería el problema para todos los racionales.
• Alcance: El artículo establece explícitamente que no aborda denominadores con factores cuadrados (que son imposibles de representar bajo estas restricciones) ni representaciones utilizando conjuntos finitos de primos fijos. El enfoque permanece estrictamente en la base aditiva universal de los recíprocos semiprimos.

El trabajo se describe como un "motor" que impulsa la demostración tan lejos como los métodos actuales lo permiten, aislando la dificultad estructural específica (el suelo libre de brechas) que impide una solución completa para los racionales pequeños en el caso $\omega=2$.