Every natural number is a sum of distinct semiprime unit fractions

Résumé Technique : « Tout nombre naturel est une somme de fractions unitaires de nombres semi-premiers distincts »

Énoncé du Problème
Le document traite d'un cas spécifique du problème d'Erdős–Graham concernant les fractions égyptiennes à dénominateurs restreints. Le problème général demande si, pour un dénominateur sans facteur carré $b$, tout rationnel $a/b$ peut être représenté comme une somme de fractions unitaires distinctes $1/n_i$ où chaque $n_i$ est un produit de exactement $\omega$ nombres premiers distincts.

• Contexte : Pour $\omega \ge 3$, le cas entier ($b=1$) a été prouvé par Butler, Erdős et Graham (BEG15) en 2015. Ils ont conjecturé que le résultat est vrai pour $\omega = 2$ (dénominateurs semi-premiers) mais n'ont pas pu le prouver, notant que le « flux » combinatoire qui alimente leur induction dégénère à mesure que $\omega$ diminue.
• Objectif : Ce document résout le cas entier ($b=1$) pour $\omega = 2$, prouvant que tout nombre naturel $m \ge 1$ est une somme finie de fractions unitaires distinctes avec des dénominateurs semi-premiers. Il étend également ce résultat aux nombres rationnels $a/b$ (avec $b$ sans facteur carré) au-dessus d'un seuil explicite, et prouve le cas rationnel complet pour $\omega = 3$.

Méthodologie
La preuve adapte et modifie le cadre d'induction établi par BEG15. Le mécanisme central consiste à analyser l'ensemble des sommes de sous-ensembles de certains ensembles d'« atomes » dérivés de primoriaux.

1. Réduction aux sommes de sous-ensembles :
   Le problème est réduit à démontrer que pour un nombre naturel $m$, il existe un $N$ tel que $P_N m$ (où $P_N$ est le $N$-ième primorial) appartienne à l'ensemble des sommes de sous-ensembles $L_2(N)$ de l'ensemble $D_2(N) = \{ P_N / (p_i p_j) : 1 \le i < j \le N \}$.

2. Le squelette de l'induction :
   La preuve repose sur l'établissement que $L_2(N)$ contient un « bloc central » d'entiers $[\lceil \sigma_2(N)/6 \rceil, \lfloor 5\sigma_2(N)/6 \rfloor]$, où $\sigma_2(N)$ est la somme des éléments de $D_2(N)$.

• Cas de base : Vérifié par calcul pour $N_0 = 10$ en utilisant un bitset compacté pour vérifier l'accessibilité des sommes de sous-ensembles sur 45 atomes.
• Étape d'induction ($N \to N+1$) : L'étape utilise la récursion de division $L_2(N+1) = L_1(N) + p_{N+1} L_2(N)$, où $L_1(N)$ est l'ensemble des sommes de sous-ensembles des inverses de nombres premiers simples (le « flux »).

3. Surmonter l'obstacle de $\omega=2$ :
   Dans le cas $\omega=3$, le flux $L_1(N)$ est un ensemble riche. Dans le cas $\omega=2$, le flux s'effondre vers les sommes de sous-ensembles de nombres premiers simples, ce qui est structurellement « mince ». La méthode de BEG15 a échoué ici car l'argument « runs-connect » nécessitait un ensemble interne complet pour les résidus, lequel n'existait pas dans le cas dégénéré.

• Nouvelle intuition : L'auteur observe que dans la récursion $\omega=2$, la fenêtre de couverture (l'intervalle de valeurs cibles couvertes par un seul élément du flux) est toujours au moins aussi longue que toute la plage du flux. Par conséquent, la fenêtre doit contenir l'un des points extrêmes du flux ($0$ ou $\sigma_1(N)$).
• Stratégie : Au lieu d'essayer de restaurer une structure interne au flux mince, la preuve utilise le flux directement comme l'objet complet pour les résidus. L'induction réussit si le flux atteint chaque classe de résidu modulo le nouveau nombre premier $q = p_{N+1}$ « assez tôt » (dans une longueur de bande spécifique).

4. Vérification analytique et computationnelle :
   La preuve réduit la difficulté à une seule inégalité, $Y_0(N) \le \beta(N)$, où $Y_0(N)$ est le rayon de départ pour la complétude des résidus du flux, et $\beta(N)$ est la longueur de la bande disponible.

• Plage finie ($10 \le N \le 299$) : Vérifiée via l'arithmétique entière exacte en utilisant un algorithme de type Dijkstra sur le groupe des résidus $\mathbb{Z}_q$.
• Queue analytique ($N \ge 300$) : Prouvée en utilisant les bornes de Chebyshev élémentaires sur les écarts entre nombres premiers et la monotonie de la somme des inverses des nombres premiers.
• Complétude des résidus : Pour les petits $N$ où le théorème d'addition d'Olson ne s'applique pas strictement, la complétude des résidus est vérifiée par calcul.

Résultats Clés

1. Théorème 1.2 (Cas entier) : Tout nombre naturel $m \ge 1$ peut être écrit comme une somme finie de fractions unitaires distinctes avec des dénominateurs semi-premiers. La preuve est non constructive et effective, mais produit des bornes énormes sur la taille des dénominateurs (environ $N \sim \exp(\exp(O(\sqrt{m})))$).
2. Extension rationnelle (Théorèmes 7.1 & 7.4) : Pour tout dénominateur sans facteur carré $b$, tout rationnel $a/b \ge \min\{B_{N_b}/6, 1/5\}$ est représentable comme une somme de fractions unitaires semi-premières distinctes. Ici, $B_{N_b}$ dépend du plus grand facteur premier de $b$.
3. Théorème des rationnels $\omega=3$ (Théorème 8.1) : Tout rationnel positif $a/b$ avec $b$ sans facteur carré est une somme de fractions unitaires distinctes avec des dénominateurs sphéniques (produits de trois nombres premiers distincts). Ceci est obtenu par un argument de « levage » : multiplier la cible par un grand nombre premier $r$ pour la déplacer dans la plage représentable du théorème $\omega=2$, puis diviser par $r$.
4. Généralisation $\omega \ge 3$ (Corollaire 8.6) : Par descente, le résultat s'étend à tous les $\omega \ge 3$.

Signification et Problèmes Ouverts

• Résolution d'une conjecture : Le document fournit la première preuve complète du cas entier $\omega=2$, un problème laissé en tant que conjecture par BEG15. Il démontre que le régime du « flux mince » peut être traité en adaptant l'induction pour qu'elle repose sur la couverture des extrémités plutôt que sur la structure interne.
• Résultats inconditionnels : Tous les résultats sont inconditionnels, reposant sur la théorie élémentaire des nombres et des calculs finis vérifiés par des scripts indépendants.
• Le cœur ouvert restant : Le document identifie le seul cas restant ouvert comme étant le « cœur profond » du problème $\omega=2$ : les rationnels $a/b$ en dessous du seuil $\min\{B_{N_b}/6, 1/5\}$.
  • L'auteur le réduit à une seule conjecture explicite : La Conjecture du Plancher Sans Écart (GFF - Gap-Free Floor Conjecture), qui postule que le plancher sans écart de l'ensemble des sommes de sous-ensembles semi-premiers tend vers zéro quand $N \to \infty$. Si elle est vraie, elle résoudrait le problème pour tous les rationnels.
• Portée : Le document précise explicitement qu'il n'aborde pas les dénominateurs possédant des facteurs carrés (qui sont impossibles à représenter sous ces contraintes) ni les représentations utilisant des ensembles finis de nombres premiers fixes. L'accent reste strictement mis sur la base additive universelle des inverses de nombres semi-premiers.

Le travail est décrit comme un « moteur » qui pousse la preuve aussi loin que les méthodes actuelles le permettent, isolant la difficulté structurelle spécifique (le plancher sans écart) qui empêche une solution complète pour les petits rationnels dans le cas $\omega=2$.