On Zeckendorf-Niven numbers and arithmetic progressions

Resumen Técnico: Sobre los Números de Zeckendorf-Niven y de Lucas-Niven en Progresiones Aritméticas

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la distribución de los números de Zeckendorf-Niven y de Lucas-Niven dentro de las progresiones aritméticas. Un entero positivo $n$ se define como Zeckendorf-Niven si es divisible por $s_Z(n)$, el número de sumandos no nulos en su descomposición de Zeckendorf única (una representación de $n$ como una suma de números de Fibonacci $F_i$ no consecutivos con $i \ge 2$). Del mismo modo, $n$ es Lucas-Niven si es divisible por $s_L(n)$, el número de sumandos en su descomposición de Lucas única (utilizando números de Lucas $L_i$ con $i \ge 0$).

Si bien la distribución de los números Niven estándar en bases-$b$ en progresiones aritméticas está bien estudiada (por ejemplo, la existencia de infinitos tales números y límites sobre términos consecutivos), el comportamiento de estas variantes basadas en Fibonacci no había sido caracterizado completamente en progresiones aritméticas. Específicamente, el artículo aborda si cada progresión aritmética contiene infinitamente muchos de tales números y establece límites sobre la longitud máxima de términos consecutivos que comparten estas propiedades.

Metodología
Los autores emplean propiedades de la teoría de números de las sucesiones de Fibonacci y Lucas, particularmente su periodicidad módulo $d$ (periodos de Pisano) y reglas de divisibilidad.

1. Periodicidad y Divisibilidad: Las demostraciones dependen fuertmente del hecho de que la sucesión de Fibonacci $(F_i)$ y la sucesión de Lucas $(L_i)$ son periódicas módulo cualquier entero $d$. Los autores utilizan propiedades específicas de los periodos de Pisano, tales como $\pi(F_{2j}) = 4j$ y $\pi(F_{2j+1}) = 8j+4$, para construir términos con propiedades específicas.
2. Construcción de Términos: Para probar la existencia de infinitos números Niven en una progresión aritmética $(a + kd)$, los autores construyen términos específicos $N$ dentro de la progresión. Manipulan las descomposiciones de Zeckendorf o de Lucas añadiendo grandes números de Fibonacci/Lucas que son múltiplos de la diferencia común (o periodos relacionados). Esto permite controlar el número de sumandos $s_Z(N)$ o $s_L(N)$ mientras se asegura que el número resultante permanezca en la progresión.
3. Aritmética Modular y Análisis de Casos: Para el caso de Lucas-Niven, la falta de propiedades de divisibilidad directa (como $F_i | F_j$ si $i|j$) en la sucesión de Lucas requiere un enfoque más matizado. Los autores utilizan el Teorema de Dirichlet sobre primos para seleccionar un primo $p \equiv -1 \pmod{10\pi_L(d)}$ y analizan casos basados en la paridad de los índices en la descomposición para asegurar que el número construido sea divisible por $p$.
4. Análisis Local para Términos Consecutivos: Para acotar el número de términos consecutivos, los autores definen sumas truncadas $z_6(n)$ (sumas de componentes de Fibonacci hasta $F_6$) y analizan cómo cambia la descomposición de Zeckendorf al añadir la diferencia común (por ejemplo, $n \to n+2$). Al rastrear los cambios en el número de sumandos $s_Z(n)$, derivan contradicciones para secuencias más largas que límites específicos.

Contribuciones Clave y Resultados

• Infinitud en Progresiones Aritméticas:

  • Teorema 2.6: Toda progresión aritmética contiene infinitamente muchos números de Zeckendorf-Niven. La prueba construye un término $N'$ en la progresión tal que $s_Z(N')$ divide a $N'$.
  • Teorema 3.4: Toda progresión aritmética contiene infinitamente muchos números de Lucas-Niven. Este resultado se logra adaptando la técnica de construcción para manejar las restricciones modulares específicas de la sucesión de Lucas.

• Distribución de Números No-Niven:

  • Teorema 2.7: Toda progresión aritmética contiene subsecuencias de términos consecutivos de no-Zeckendorf-Niven arbitrariamente largas. Esto demuestra que, aunque los números Niven son densos, no están distribuidos uniformemente.

• Límites sobre Términos Consecutivos en 2-AP:

  • Teorema 4.3: El número máximo de términos consecutivos de Zeckendorf-Niven en una 2-AP (diferencia común 2) es 8. La única secuencia de longitud 8 o más es la subsecuencia $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$.
  • Teorema 4.4: Existen secuencias de cinco términos consecutivos de Zeckendorf-Niven en una 2-AP (por ejemplo, $n, n+2, n+4, n+6, n+8$ donde $n = 27 + F_{120j+17}$).

• Términos Consecutivos con Número de Sumandos Constante:

  • Teorema 5.1: En una progresión aritmética con una diferencia común de Fibonacci $F_d$, existen infinitos puntos de partida $a$ tales que $s_Z(a) = s_Z(a+F_d) = s_Z(a+2F_d)$. Sin embargo, es imposible tener cuatro términos consecutivos con el mismo valor de $s_Z$.
  • Teorema 5.2: Para $d \ge 3$, existen infinitos $a$ tales que $a, a+F_d, a+2F_d$ son todos de Zeckendorf-Niven y comparten el mismo valor de $s_Z$.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma extender la teoría de los números Niven desde las representaciones de base estándar hacia las representaciones de Zeckendorf y de Lucas. La principal significancia radica en establecer que, de manera similar a los números Niven estándar, los números de Zeckendorf-Niven y de Lucas-Niven no son raros; aparecen infinitamente a menudo en cada progresión aritmética.

Además, el trabajo proporciona limitaciones estructurales precisas sobre el agrupamiento de estos números. Mientras que los números Niven estándar pueden tener largas rachas de términos consecutivos (hasta 20 en 1-AP), los números de Zeckendorf-Niven en 2-AP están estrictamente limitados (máximo 8). El artículo también destaca un fenómeno único en las progresiones con diferencia de Fibonacci donde el número de sumandos puede permanecer constante para exactamente tres términos consecutivos, una propiedad que no puede extenderse a cuatro.

Los autores señalan que estos resultados dependen de las propiedades de descomposición únicas de los números de Fibonacci y de Lucas y de la periodicidad de estas sucesiones módulo enteros. El trabajo no propone aplicaciones experimentales, sino que contribuye a la comprensión teórica de la distribución de los enteros definidos por propiedades aditivas de la teoría de números.