On Zeckendorf-Niven numbers and arithmetic progressions

Résumé Technique : Sur les nombres de Zeckendorf-Niven et de Lucas-Niven dans les progressions arithmétiques

Énoncé du Problème
Cet article étudie la distribution des nombres de Zeckendorf-Niven et de Lucas-Niven au sein des progressions arithmétiques. Un entier positif $n$ est défini comme Zeckendorf-Niven s'il est divisible par $s_Z(n)$, le nombre de sommandes non nulles de sa décomposition de Zeckendorf unique (une représentation de $n$ comme une somme de nombres de Fibonacci $F_i$ non consécutifs avec $i \ge 2$). De même, $n$ est Lucas-Niven si $n$ est divisible par $s_L(n)$, le nombre de sommandes de sa décomposition de Lucas unique (utilisant les nombres de Lucas $L_i$ avec $i \ge 0$).

Bien que la distribution des nombres de Niven classiques en base-$b$ dans les progressions arithmétiques soit bien étudiée (par exemple, l'existence d'une infinité de tels nombres et des bornes sur les termes consécutifs), le comportement de ces variantes basées sur les suites de Fibonacci dans les progressions arithmétiques n'avait pas été pleinement caractérisé. Plus précisément, l'article examine si chaque progression arithmétique contient une infinité de tels nombres et établit des bornes sur la longueur maximale des termes consécutifs partageant ces propriétés.

Méthodologie
Les auteurs emploient les propriétés théoriques de nombres des suites de Fibonacci et de Lucas, particulièrement leur périodicité modulo $d$ (périodes de Pisano) et leurs règles de divisibilité.

1. Périodicité et Divisibilité : Les preuves reposent fortement sur le fait que la suite de Fibonacci $(F_i)$ et la suite de Lucas $(L_i)$ sont périodiques modulo tout entier $d$. Les auteurs utilisent des propriétés spécifiques des périodes de Pisano, telles que $\pi(F_{2j}) = 4j$ et $\pi(F_{2j+1}) = 8j+4$, pour construire des termes possédant des propriétés spécifiques.
2. Construction de Termes : Pour prouver l'existence d'une infinité de nombres Niven dans une progression arithmétique $(a + kd)$, les auteurs construisent des termes spécifiques $N$ au sein de la progression. Ils manipulent les décompositions de Zeckendorf ou de Lucas en ajoutant de grands nombres de Fibonacci/Lucas qui sont des multiples de la différence commune (ou de périodes liées). Cela permet de contrôler le nombre de sommandes $s_Z(N)$ ou $s_L(N)$ tout en garantissant que le nombre résultant reste dans la progression.
3. Arithmétique Modulaire et Analyse par Cas : Pour le cas Lucas-Niven, l'absence de propriétés de divisibilité directes (comme $F_i | F_j$ si $i|j$) dans la suite de Lucas nécessite une approche plus nuancée. Les auteurs utilisent le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers pour sélectionner un nombre premier $p \equiv -1 \pmod{10\pi_L(d)}$ et analysent les cas basés sur la parité des indices dans la décomposition afin de garantir que le nombre construit est divisible par $p$.
4. Analyse Locale pour les Termes Consécutifs : Pour borner le nombre de termes consécutifs, les auteurs définissent des sommes tronquées $z_6(n)$ (sommes des composantes de Fibonacci jusqu'à $F_6$) et analysent comment la décomposition de Zeckendorf change lors de l'ajout de la différence commune (par exemple, $n \to n+2$). En suivant les changements dans le nombre de sommandes $s_Z(n)$, ils dérivent des contradictions pour des séquences dépassant des bornes spécifiques.

Contributions Clés et Résultats

• Infinitude dans les Progressions Arithmétiques :

  • Théorème 2.6 : Toute progression arithmétique contient une infinité de nombres de Zeckendorf-Niven. La preuve construit un terme $N'$ dans la progression tel que $s_Z(N')$ divise $N'$.
  • Théorème 3.4 : Toute progression arithmétique contient une infinité de nombres de Lucas-Niven. Ce résultat est obtenu en adaptant la technique de construction pour gérer les contraintes modulaires spécifiques de la suite de Lucas.

• Distribution des Nombres Non-Niven :

  • Théorème 2.7 : Toute progression arithmétique contient des sous-suites de termes consécutifs non-Zeckendorf-Niven de longueur arbitraire. Cela démontre que bien que les nombres Niven soient denses, ils ne sont pas distribués uniformément.

• Bornes sur les Termes Consécutifs dans les 2-AP :

  • Théorème 4.3 : Le nombre maximal de termes consécutifs de Zeckendorf-Niven dans une 2-AP (différence commune 2) est de 8. La seule séquence de longueur 8 ou plus est la sous-suite $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$.
  • Théorème 4.4 : Il existe des séquences de cinq termes consécutifs de Zeckendorf-Niven dans une 2-AP (par exemple, $n, n+2, n+4, n+6, n+8$ où $n = 27 + F_{120j+17}$).

• Termes Consécutifs avec un Nombre de Sommandes Constant :

  • Théorème 5.1 : Dans une progression arithmétique ayant une différence de Fibonacci $F_d$, il existe une infinité de points de départ $a$ tels que $s_Z(a) = s_Z(a+F_d) = s_Z(a+2F_d)$. Cependant, il est impossible d'avoir quatre termes consécutifs avec la même valeur de $s_Z$.
  • Théorème 5.2 : Pour $d \ge 3$, il existe une infinité de $a$ tels que $a, a+F_d, a+2F_d$ sont tous des nombres de Zeckendorf-Niven et partagent la même valeur de $s_Z$.

Signification et Revendications
L'article affirme étendre la théorie des nombres Niven des représentations en base standard aux représentations de Zeckendorf et de Lucas. La principale signification réside dans l'établissement du fait que, à l'instar des nombres Niven standards, les nombres de Zeckendorf-Niven et de Lucas-Niven ne sont pas rares ; ils apparaissent une infinité de fois dans chaque progression arithmétique.

De plus, ce travail fournit des limitations structurelles précises sur le regroupement de ces nombres. Alors que les nombres Niven standards peuvent présenter de longues séries de termes consécutifs (jusqu'à 20 dans les 1-AP), les nombres de Zeckendorf-Niven dans les 2-AP sont strictement bornés (maximum 8). L'article souligne également un phénomène unique dans les progressions à différence de Fibonacci où le nombre de sommandes peut rester constant pour exactement trois termes consécutifs, une propriété qui ne peut être étendue à quatre.

Les auteurs notent que ces résultats reposent sur les propriétés de décomposition uniques des nombres de Fibonacci et de Lucas ainsi que sur la périodicité de ces suites modulo des entiers. Ce travail ne propose pas d'applications expérimentales mais contribue à la compréhension théorique de la distribution des entiers définis par des propriétés additives de la théorie des nombres.