On common values of $F_n$ and Nathanson's totient function $\Phi(m)$

Resumen Técnico: Valores Comunes de $F_n$ y la Función Totiente de Nathanson $\Phi(m)$

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda una ecuación diofántica específica planteada recientemente por Chatterjee, el autor, y Mohan. El objetivo es determinar todas las soluciones enteras $(n, m)$ para la ecuación:
$$F_n = \Phi(m)$$
donde $F_n$ denota el $n$-ésimo número de Fibonacci (definido por $F_0=0, F_1=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$) y $\Phi(m)$ es la función totiente de Nathanson. La función $\Phi(m)$ cuenta el número de subconjuntos no vacíos $A \subseteq \{1, 2, \dots, m\}$ tales que $\gcd(A)$ es coprimo con $m$. Mientras que la literatura previa ha estudiado extensamente ecuaciones diofánticas que involucran números de Fibonacci y potencias, o sumas de números de Fibonacci, este trabajo se centra específicamente en la intersección de los números de Fibonacci con las propiedades aritméticas de $\Phi(m)$.

Metodología
La demostración del teorema principal se basa en una combinación de teoría analítica de números y verificación computacional, utilizando las siguientes herramientas:

1. Cotas Inferiores para Formas Lineales en Logaritmos: La principal herramienta teórica es el teorema de Matveev, que proporciona cotas inferiores explícitas para formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. Esto se utiliza para establecer una cota superior inicial para las variables de la ecuación.
2. Métodos de Reducción: Para reducir la cota superior inicialmente grande a un rango computacionalmente manejable, el autor emplea la versión de Dujella–Pethő del método de reducción de Baker–Davenport. Esto implica analizar expansiones de fracciones continuas y utilizar el Lema 2.2 para ajustar las cotas de las variables.
3. Propiedades de $\Phi(m)$ y $F_n$: La demostración utiliza propiedades específicas de las funciones involucradas, incluyendo:
   • La propiedad de divisibilidad que $6 \mid \Phi(n)$ para $n \ge 3$ (Lema 2.4), lo que implica que $6 \mid F_n$ y, consecuentemente, $12 \mid n$.
   • Cotas inferiores para $\Phi(m)$ establecidas en el Teorema 2.3.
   • Un lema auxiliar (Lema 3.1) que acota la suma de potencias de 2 ponderadas por la función de Möbius para $m$ grande.
4. Verificación Computacional: Una vez que las cotas teóricas se reducen a un rango finito, el autor realiza una búsqueda de fuerza bruta utilizando código Python para verificar la ausencia de soluciones dentro de los intervalos restantes.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo proporciona una solución completa a la ecuación diofántica $F_n = \Phi(m)$. El resultado principal se establece en el Teorema 1.2:

Teorema 1.2: La ecuación diofántica $F_n = \Phi(m)$ tiene únicamente las siguientes soluciones:
$$(n, m) = (1, 1), (2, 1), (3, 2)$$

La demostración procede por contradicción, asumiendo que $m \ge 79$. Al establecer que $n$ debe ser un múltiplo de 12, el autor deriva una desigualdad que involucra formas lineales en logaritmos. Mediante la aplicación iterativa del método de reducción, la cota superior para el parámetro $k$ (donde $n=12k$) se reduce de aproximadamente $1.91 \times 10^{14}$ a $k \le 163$. Una búsqueda computacional final confirma que no existen soluciones para $79 \le m < 12k$. Los casos restantes donde $1 \le m \le 78$ se verifican directamente, arrojando las tres soluciones listadas arriba.

Significancia
El artículo reclama significancia al resolver completamente el problema específico de encontrar valores comunes entre la sucesión de Fibonacci y la función totiente de Nathanson. Extiende el cuerpo de trabajo sobre ecuaciones diofánticas exponenciales que involucran números de Fibonacci, las cuales se han centrado previamente en sumas, diferencias y potencias de números de Fibonacci. El trabajo demuestra la eficacia de combinar las cotas de Matveev con el método de reducción de Dujella–Pethő para resolver ecuaciones que involucran funciones aritméticas no estándar como $\Phi(m)$. El autor señala que el manuscrito no contiene datos asociados y declara la ausencia de conflictos de interés.