On common values of $F_n$ and Nathanson's totient function $\Phi(m)$

Résumé Technique : Valeurs Communes de $F_n$ et de la Fonction Totient de Nathanson $\Phi(m)$

Énoncé du Problème
Cet article traite d'une équation diophantienne spécifique posée récemment par Chatterjee, l'auteur, et Mohan. L'objectif est de déterminer toutes les solutions entières $(n, m)$ de l'équation :
$$F_n = \Phi(m)$$
où $F_n$ désigne le $n$-ième nombre de Fibonacci (défini par $F_0=0, F_1=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$) et $\Phi(m)$ est la fonction totient de Nathanson. La fonction $\Phi(m)$ compte le nombre de sous-ensembles non vides $A \subseteq \{1, 2, \dots, m\}$ tels que $\gcd(A)$ est premier avec $m$. Alors que la littérature antérieure a étudié de manière extensive les équations diophantiennes impliquant les nombres de Fibonacci et des puissances, ou des sommes de nombres de Fibonacci, ce travail se concentre spécifiquement sur l'intersection des nombres de Fibonacci avec les propriétés arithmétiques de $\Phi(m)$.

Méthodologie
La preuve du théorème principal repose sur une combinaison de théorie analytique des nombres et de vérification computationnelle, utilisant les outils suivants :

1. Bornes Inférieures pour les Formes Linéaires de Logarithmes : Le principal outil théorique est le théorème de Matveev, qui fournit des bornes inférieures explicites pour les formes linéaires des logarithmes de nombres algébriques. Il est utilisé pour établir une borne supérieure initiale pour les variables de l'équation.
2. Méthodes de Réduction : Pour réduire la borne supérieure initiale à une plage gérable par calcul, l'auteur emploie la version de Dujella–Pethő de la méthode de réduction de Baker–Davenport. Cela implique l'analyse des développements en fractions continues et l'utilisation du Lemme 2.2 pour resserrer les bornes sur les variables.
3. Propriétés de $\Phi(m)$ et $F_n$ : La preuve utilise des propriétés spécifiques des fonctions impliquées, notamment :
   • La propriété de divisibilité selon laquelle $6 \mid \Phi(n)$ pour $n \ge 3$ (Lemme 2.4), ce qui implique que $6 \mid F_n$ et, par conséquent, $12 \mid n$.
   • Des bornes inférieures pour $\Phi(m)$ établies dans le Théorème 2.3.
   • Un lemme auxiliaire (Lemme 3.1) bornant la somme des puissances de 2 pondérées par la fonction de Möbius pour de grands $m$.
4. Vérification Computationnelle : Une fois les bornes théoriques réduites à une plage finie, l'auteur effectue une recherche par force brute à l'aide d'un code Python pour vérifier l'absence de solutions dans les intervalles restants.

Contributions Clés et Résultats
L'article fournit une solution complète à l'équation diophantienne $F_n = \Phi(m)$. Le résultat principal est énoncé dans le Théorème 1.2 :

Théorème 1.2 : L'équation diophantienne $F_n = \Phi(m)$ n'a que les solutions suivantes :
$$(n, m) = (1, 1), (2, 1), (3, 2)$$

La preuve procède par contradiction, en supposant $m \ge 79$. En établissant que $n$ doit être un multiple de 12, l'auteur dérive une inégalité impliquant des formes linéaires de logarithmes. Par application itérative de la méthode de réduction, la borne supérieure pour le paramètre $k$ (où $n=12k$) est réduite d'environ $1,91 \times 10^{14}$ à $k \le 163$. Une recherche computationnelle finale confirme qu'il n'existe aucune solution pour $79 \le m < 12k$. Les cas restants où $1 \le m \le 78$ sont vérifiés directement, produisant les trois solutions listées ci-dessus.

Signification
L'article revendique sa signification en résolvant complètement le problème spécifique de la recherche de valeurs communes entre la suite de Fibonacci et la fonction totient de Nathanson. Il étend l'ensemble des travaux sur les équations diophantiennes exponentielles impliquant les nombres de Fibonacci, qui se sont précédemment concentrés sur les sommes, les différences et les puissances de nombres de Fibonacci. Ce travail démontre l'efficacité de la combinaison des bornes de Matveev avec la méthode de réduction de Dujella–Pethő pour résoudre des équations impliquant des fonctions arithmétiques non standards comme $\Phi(m)$. L'auteur note que le manuscrit ne contient aucune donnée associée et déclare l'absence de conflits d'intérêts.