Negative discrete second moments of Dirichlet $L$-functions

Resumen Técnico: Momentos Discretos Negativos de Segundo de las Funciones L de Dirichlet

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga cotas inferiores para dos momentos discretos de segundo específicos de las funciones $L$ de Dirichlet $L(s, \chi)$, tomados sobre sus ceros no triviales $\rho = \frac{1}{2} + i\gamma$. El estudio se centra en la uniformidad de estas cotas con respecto al conductor $q$, particularmente en regímenes donde $q$ crece con la altura $T$ de los ceros. Los dos momentos analizados son:

1. El Momento Recíproco: $\sum_{0<\gamma \le T} |L'(\rho, \chi)|^{-2}$.
2. El Momento de la Razón: $\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{L(2\rho, \chi^2)}{L'(\rho, \chi)} \right|^2$.

Estas cantidades generalizan conjeturas y teoremas establecidos previamente para la función zeta de Riemann ($q=1$) por Gonek, Milinovich, Ng y Sinha. El desafío central abordado es determinar cómo el conductor $q$ afecta la magnitud de estas sumas, identificando específicamente el "déficit del conductor" que surge cuando $q$ es grande en relación con $T$.

Metodología
El autor emplea la técnica de la mollificación, adaptando la estrategia de Milinovich y Ng (que a su vez se basa en el trabajo de Rudnick y Soundararajan). El enfoque central consiste en:

• Mollificadores: Se construyen dos polinomios de Dirichlet distintos para aproximar los recíprocos de los términos de los momentos.
  • Para el momento recíproco, se utiliza un polinomio con giro de Möbius $L_\psi(s) = \sum_{n \le \xi} \mu(n)\psi(n)P_n n^{-s}$, que corresponde a la serie de Dirichlet para $1/L(s, \chi)$.
  • Para el momento de la razón, se utiliza un polinomio con giro de Liouville $\tilde{L}_\psi(s) = \sum_{n \le \xi} \lambda(n)\psi(n)P_n n^{-s}$, que corresponde a la serie para $L(2s, \chi^2)/L(s, \chi)$.
  • Aquí, $\xi = T^\vartheta$ es la longitud del mollificador, y $P(x)$ es un polinomio con $P(0)=0, P(1)=1$.
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz: Los momentos se acotan por debajo aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a sumas de la forma $\sum \frac{1}{L'(\rho, \chi)} L_\chi(\rho)$ (y el análogo de la razón). Esto reduce el problema a estimar el primer momento ($M_1$) y el segundo momento ($M_2$) de las funciones mollificadas sobre los ceros.
• Integración de Contorno: Las sumas $M_1$ y $M_2$ se evalúan mediante el teorema del residuo sobre contornos rectangulares. Las integrales a lo largo de los bordes verticales producen los términos principales, mientras que los bordes horizontales se acotan utilizando estimaciones de tamaño para las funciones $L$.
• Uniformidad: Un componente técnico crítico es mantener la uniformidad en el conductor $q$. Esto requiere un manejo cuidadoso de los factores aritméticos (que involucran $\phi(q)$ y $A_q$) y los términos de error en los teoremas de valor medio para polinomios de Dirichlet. Se asumen la Hipótesis de Riemann Generalizada (GRH) y la simplicidad de los ceros.

Resultados Clave
El artículo establece cotas inferiores para ambos momentos que dependen de la razón $\beta = \frac{\log T}{\log qT}$.

• Teorema 5 (Momento Recíproco): Asumiendo GRH y ceros simples, para $3 \le q \le T^A$, la suma está acotada inferiormente por:
  $$(1-\varepsilon) \frac{A_q}{2\pi} \frac{\beta}{1+\beta} T$$
  donde $A_q = \frac{6}{\pi^2} \prod_{p|q} \frac{p}{p+1}$.

• Teorema 6 (Momento de la Razón): Asumiendo GRH para $L(s, \chi)$ (y ceros simples), para $3 \le q \le T^{1-\delta}$, la suma está acotada inferiormente por:
  $$(1-\varepsilon) \frac{\phi(q)}{q} \frac{1}{2\pi} \frac{\beta}{1+\beta} T$$
  La restricción $q \le T^{1-\delta}$ surge porque la prueba no asume la GRH para el carácter $\chi^2$ que aparece en el numerador; asumir la GRH para $\chi^2$ extendería el rango a $q \le T^A$.

• Comportamiento Asintótico:

  • Conductores Pequeños: Si $\log q = o(\log T)$ (por ejemplo, $q$ fijo), entonces $\beta \to 1$. Las cotas recuperan la mitad del tamaño asintótico conjeturado (coincidiendo con los resultados para $q=1$ de Milinovich-Ng y Sinha).
  • Conductores de Potencia: Si $q = T^A$, entonces $\beta = \frac{1}{1+A}$, y la proporción capturada es $\frac{1}{2+A}$. Por ejemplo, en $A=1$, la cota es $1/3$ del tamaño conjeturado.

• Momentos Superiores: Aplicando la desigualdad de Hölder, el autor deriva cotas inferiores para momentos superiores ($2k$) en los Corolarios 11 y 12. Estas cotas son del orden de $T/(\log qT)^{k-1}$, las cuales son significativamente menores que los tamaños conjeturados para $k>1$, pero el artículo enfatiza su uniformidad en $q$ en lugar de su agudeza.

Conjeturas y Significado
El artículo postula que las cotas inferiores derivadas capturan exactamente la proporción $\frac{\beta}{1+\beta}$ de los verdaderos valores asintóticos.

• Conjeturas 7 y 8: El autor conjetura que los verdaderos asintóticos son $\frac{A_q}{2\pi}T$ y $\frac{\phi(q)}{q}\frac{T}{2\pi}$ respectivamente, uniformemente para $q \le T^A$.
• Fuente del Déficit: El artículo argumenta que el factor $\frac{\beta}{1+\beta}$ no es un accidente numérico, sino una característica estructural de la construcción diagonal de Cauchy-Schwarz. El teorema de valor medio para polinomios de Dirichlet limita la longitud del mollificador $\xi$ a $T^{1-\varepsilon}$, independiente de $q$. Sin embargo, la densidad de ceros crece con $\log qT$. El "déficit" es la razón del valor de la función $u/(1+u)$ en el tope $u=\beta$ respecto a su límite cuando $u \to \infty$.
• Promedios de Familia: El autor sugiere que promediar sobre la familia de caracteres primitivos (Conjeturas 9 y 10) podría permitir mollificadores más largos (hasta $(qT)^{1-\varepsilon}$), mejorando potencialmente la proporción capturada de $\frac{1}{2+A}$ a $\frac{1}{2}$ en el régimen de conductor de potencia. No obstante, el artículo no prueba esto, señalando que requeriría nuevas fórmulas explícitas uniformes.

Conclusión
El artículo proporciona las primeras cotas inferiores uniformes para los momentos discretos negativos de las funciones $L$ de Dirichlet a través de un amplio rango de conductores. Generaliza con éxito los resultados conocidos para $q=1$ y cuantifica la degradación de estas cotas a medida que el conductor crece. El trabajo identifica una limitación estructural específica en el método de mollificación actual respecto al aspecto del conductor y formula conjeturas precisas para el verdadero comportamiento asintótico, invitando a la investigación futura sobre técnicas de promedios de familia para superar el actual "déficit del conductor".