Negative discrete second moments of Dirichlet $L$-functions

Résumé Technique : Moments Discrets Seconds Négatifs des Fonctions L de Dirichlet

Énoncé du Problème
Cet article étudie les bornes inférieures pour deux moments discrets seconds spécifiques des fonctions $L$ de Dirichlet $L(s, \chi)$, calculés sur leurs zéros non triviaux $\rho = \frac{1}{2} + i\gamma$. L'étude se concentre sur l'uniformité de ces bornes par rapport au conducteur $q$, particulièrement dans les régimes où $q$ croît avec la hauteur $T$ des zéros. Les deux moments analysés sont :

1. Le Moment Réciproque : $\sum_{0<\gamma \le T} |L'(\rho, \chi)|^{-2}$.
2. Le Moment de Rapport : $\sum_{0<\gamma \le T} \left| \frac{L(2\rho, \chi^2)}{L'(\rho, \chi)} \right|^2$.

Ces quantités généralisent les conjectures et théorèmes précédemment établis pour la fonction zêta de Riemann ($q=1$) par Gonek, Milinovich, Ng et Sinha. Le défi central abordé est de déterminer comment le conducteur $q$ affecte l'ordre de grandeur de ces sommes, en identant spécifiquement le « déficit de conducteur » qui apparaît lorsque $q$ est grand par rapport à $T$.

Méthodologie
L'auteur emploie la technique de la mollification, adaptant la stratégie de Milinovich et Ng (qui repose elle-même sur les travaux de Rudnick et Soundararajan). L'approche centrale implique :

• Mollificateurs : Deux polynômes de Dirichlet distincts sont construits pour approximer les inverses des termes des moments.
  • Pour le moment réciproque, un polynôme tourné par la fonction de Möbius $L_\psi(s) = \sum_{n \le \xi} \mu(n)\psi(n)P_n n^{-s}$ est utilisé, correspondant à la série de Dirichlet pour $1/L(s, \chi)$.
  • Pour le moment de rapport, un polynôme tourné par la fonction de Liouville $\tilde{L}_\psi(s) = \sum_{n \le \xi} \lambda(n)\psi(n)P_n n^{-s}$ est utilisé, correspondant à la série pour $L(2s, \chi^2)/L(s, \chi)$.
  • Ici, $\xi = T^\vartheta$ est la longueur du mollificateur, et $P(x)$ est un polynôme avec $P(0)=0, P(1)=1$.
• Inégalité de Cauchy-Schwarz : Les moments sont bornés par le bas en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à des sommes de la forme $\sum \frac{1}{L'(\rho, \chi)} L_\chi(\rho)$ (et l'analogue pour le rapport). Cela réduit le problème à l'estimation du premier moment ($M_1$) et du second moment ($M_2$) des fonctions mollifiées sur les zéros.
• Intégration sur Contour : Les sommes $M_1$ et $M_2$ sont évaluées à l'aide du théorème des résidus sur des contours rectangulaires. Les intégrales le long des bords verticaux produisent les termes principaux, tandis que les bords horizontaux sont bornés à l'aide d'estimations de la taille des fonctions $L$.
• Uniformité : Un composant technique critique consiste à maintenir l'uniformité dans le conducteur $q$. Cela nécessite une manipulation soigneuse des facteurs arithmétiques (impliquant $\phi(q)$ et $A_q$) et des termes d'erreur dans les théorèmes de moyenne pour les polynômes de Dirichlet. L'Hypothèse de Riemann Généralisée (HRG) et la simplicité des zéros sont supposées tout au long de l'étude.

Résultats Clés
L'article établit des bornes inférieures pour les deux moments qui dépendent du rapport $\beta = \frac{\log T}{\log qT}$.

• Théorème 5 (Moment Réciproque) : En supposant l'HRG et des zéros simples, pour $3 \le q \le T^A$, la somme est bornée inférieurement par :
  $$(1-\varepsilon) \frac{A_q}{2\pi} \frac{\beta}{1+\beta} T$$
  où $A_q = \frac{6}{\pi^2} \prod_{p|q} \frac{p}{p+1}$.

• Théorème 6 (Moment de Rapport) : En supposant l'HRG pour $L(s, \chi)$ (et des zéros simples), pour $3 \le q \le T^{1-\delta}$, la somme est bornée inférieurement par :
  $$(1-\varepsilon) \frac{\phi(q)}{q} \frac{1}{2\pi} \frac{\beta}{1+\beta} T$$
  La restriction $q \le T^{1-\delta}$ découle du fait que la preuve ne suppose pas l'HRG pour le caractère $\chi^2$ apparaissant au numérateur ; supposer l'HRG pour $\chi^2$ étendrait la plage à $q \le T^A$.

• Comportement Asymptotique :

  • Petits Conducteurs : Si $\log q = o(\log T)$ (par exemple, $q$ fixé), alors $\beta \to 1$. Les bornes retrouvent la moitié de la taille conjecturée (correspondant aux résultats pour $q=1$ de Milinovich-Ng et Sinha).
  • Conducteurs de Puissance : Si $q = T^A$, alors $\beta = \frac{1}{1+A}$, et la proportion capturée devient $\frac{1}{2+A}$. Par exemple, pour $A=1$, la borne est de $1/3$ de la taille conjecturée.

• Moments Supérieurs : En appliquant l'inégalité de Hölder, l'auteur dérive des bornes inférieures pour les moments supérieurs ($2k$) dans les Corollaires 11 et 12. Ces bornes sont d'un ordre de $T/(\log qT)^{k-1}$, ce qui est nettement plus petit que les tailles conjecturées pour $k>1$, mais l'article met l'accent sur leur uniformité en $q$ plutôt que sur leur finesse.

Conjectures et Signification
L'article pose que les bornes inférieures dérivées capturent exactement la proportion $\frac{\beta}{1+\beta}$ des valeurs asymptotiques réelles.

• Conjectures 7 et 8 : L'auteur conjecture que les vraies asymptotiques sont $\frac{A_q}{2\pi}T$ et $\frac{\phi(q)}{q}\frac{T}{2\pi}$ respectivement, uniformément pour $q \le T^A$.
• Source du Déficit : L'auteur soutient que le facteur $\frac{\beta}{1+\beta}$ n'est pas un accident numérique mais une caractéristique structurelle de la construction diagonale de Cauchy-Schwarz. Le théorème de la moyenne pour les polynômes de Dirichlet limite la longueur du mollificateur $\xi$ à $T^{1-\varepsilon}$, indépendamment de $q$. Or, la densité de zéros croît avec $\log qT$. Le « déficit » est le rapport de la valeur de la fonction $u/(1+u)$ au sommet $u=\beta$ par rapport à sa limite quand $u \to \infty$.
• Moyennes de Familles : L'auteur suggère que la moyenne sur la famille des caractères primitifs (Conjectures 9 et 10) pourrait permettre des mollificateurs plus longs (jusqu'à $(qT)^{1-\varepsilon}$), améliorant potentiellement la proportion capturée de $\frac{1}{2+A}$ à $\frac{1}{2}$ dans le régime du conducteur de puissance. Cependant, l'article ne prouve pas cela, notant que cela nécessiterait de nouvelles formules explicites uniformes.

Conclusion
Cet article fournit les premières bornes inférieures uniformes pour les moments discrets négatifs des fonctions $L$ de Dirichlet à travers une large gamme de conducteurs. Il généralise avec succès les résultats connus pour $q=1$ et quantifie la dégradation de ces bornes à mesure que le conducteur croît. Le travail identifie une limitation structurelle spécifique dans la méthode actuelle de mollification concernant l'aspect conducteur et formule des conjectures précises pour le comportement asymptotique réel, invitant à de nouvelles recherches sur les techniques de moyennes de familles pour surmonter l'actuel « déficit de conducteur ».