Automated Galerkin time stepping in Irksome

Planteamiento del Problema
La discretización de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) dependientes del tiempo se ha basado tradicionalmente en métodos de Runge–Kutta (RK). Aunque son efectivos, estos métodos suelen tener dificultades para preservar invariantes no cuadráticos y leyes de disipación inherentes a la integración numérica geométrica, particularmente para sistemas hamiltonianos y disipativos. Aunque los esquemas de discretización de Galerkin en el tiempo (o variacionales en el tiempo), como los métodos de Galerkin Discontinuo (DG) y el de Petrov–Galerkin Continuo (CPG), ofrecen propiedades superiores de preservación de estructura, su adopción se ha visto obstaculizada por la falta de software de propósito general. Las implementaciones de estos esquemas han sido históricamente personalizadas, engorrosas y limitadas a aplicaciones específicas, requiriendo a menudo el "reaprovechamiento" de herramientas de discretización espacial que no fueron diseñadas para la integración temporal. Además, los sistemas algebraicos resultantes de estos métodos son monolíticos, acoplando todos los grados de libertad temporales dentro de un paso de tiempo, lo que complica la derivación de residuales, Jacobianos y la eficiencia de los resolvedores.

Metodología
Este trabajo extiende la biblioteca Irksome, una herramienta de paso de tiempo para el marco de elementos finitos Firedrake, para automatizar tanto el paso de tiempo DG como el CPG para problemas variacionales semidiscretos. La metodología central se basa en la manipulación sintáctica del Lenguaje de Forma Unificada (UFL).

1. Formulaciones Variacionales:

   • Esquemas DG: El método discretiza la derivada temporal y los términos de salto sobre un intervalo de tiempo $I_n$ utilizando un espacio polinómico de grado $s$. Emplea una forma "fuerte" derivada mediante integración por partes, manejando las discontinuidades en los pasos de tiempo mediante términos de salto.
   • Esquemas CPG: Estos esquemas imponen la continuidad de la solución a través de los pasos de tiempo y fuerzan fuertemente los datos iniciales. Las funciones de prueba se buscan en un espacio discontinuo de grado inferior ($s-1$), lo que permite aplicar el método a formas semidiscretas generales, incluyendo aquellas sin derivadas temporales explícitas en todas las variables.
   • Variables Auxiliares: Para manejar ecuaciones diferencial-algebraicas (DAE) y formulaciones mixtas (por ejemplo, Navier–Stokes incompresible), el marco introduce variables auxiliares (como la presión) en espacios temporales discontinuos de grado $s-1$, distintos de las variables primarias en espacios continuos de grado $s$.

2. Estrategia de Automatización:

   • El usuario proporciona una forma variacional semidiscreta en UFL. Irksome construye automáticamente las ecuaciones de etapa acopladas expandiendo la solución y las funciones de prueba en bases temporales.
   • Los pesos de cuadratura se absorben en las funciones de prueba mediante linealidad para simplificar la manipulación de UFL.
   • El sistema se ensambla en un sistema algebraico de estructura de bloques donde las etapas temporales están acopladas, de manera similar a los métodos de RK totalmente implícitos.
   • Las condiciones de contorno fuertes se manejan mediante proyecciones $L^2$ sobre la base temporal.

3. Resolvedores Algebraicos:

   • El artículo aprovecha la infraestructura de resolución de Firedrake para aplicar métodos de multigrid monolíticos al sistema resultante de etapas acopladas.
   • Utiliza esquemas de relajación de Schwarz aditiva (específicamente descomposiciones de tipo Vanka) adaptados para las estructuras de bloque de los sistemas DG y CPG, lo que permite soluciones escalables de problemas a gran escala.

Contribuciones Clave

• Primer Paquete de Propósito General: Este trabajo presenta el primer paquete de propósito general que soporta nativamente tanto el paso de tiempo DG como el CPG con una interfaz unificada.
• Integración Fluida: Los usuarios pueden cambiar entre esquemas de Runge–Kutta, DG y CPG con cambios mínimos en el código (a menudo una sola línea), manteniendo la misma interfaz de alto nivel de UFL.
• Soporte para DAE y Sistemas Mixtos: La implementación soporta explícitamente variables auxiliares, permitiendo la discretización preservadora de estructura de sistemas complejos como flujos incompresibles y compresibles donde las variables tienen diferentes requisitos de continuidad en el tiempo.
• Cuadratura Flexible: El marco permite una cuadratura temporal flexible, permitiendo al usuario elegir diferentes reglas para diferentes términos para optimizar el costo o preservar leyes de conservación específicas.

Resultados Numéricos
El artículo valida la implementación a través de cuatro sistemas de EDP representativos:

1. Ecuación de Gross–Pitaevskii (Sistema Hamiltoniano): Demuestra que los esquemas CPG conservan exactamente la energía (hasta la tolerancia del resolvedor) pero no la normalización de la función de onda, mientras que los métodos RK de Gauss–Legendre implícitos conservan la normalización pero no la energía.
2. Ecuación de Allen–Cahn (Sistema de Descenso de Gradiente): Muestra que los esquemas CPG preservan la disipación de energía incondicional. Los esquemas DG también exhiben un decaimiento energético monotónico, aunque la garantía teórica es más compleja.
3. Navier–Stokes Incompresible (Flujo alrededor de un Cilindro):
   • Valida la implementación contra datos de referencia de sustentación y arrastre.
   • Destaca que tratar la presión como una variable auxiliar discontinua es crucial para la convergencia de CPG en sistemas DAE.
   • Identifica que el CPG estándar puede acumular errores de divergencia; se propone una técnica de estabilización utilizando cuadratura de derecha-Radau para la restricción de incompresibilidad, la cual se muestra capaz de restaurar la convergencia.
   • Las comparaciones muestran que el DG generalmente produce errores más bajos para este problema específico, pero el CPG sigue siendo competitivo con la estabilización adecuada.
4. Navier–Stokes–Fourier Compresible: Demuestra la preservación de masa, momento, energía y generación de entropía en una prueba de perturbación supersónica, propiedades que los métodos RK tradicionales no logran mantener.

Significación y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo elimina la barrera de entrada para el uso de métodos de Galerkin en el tiempo de alto orden y preservadores de estructura. Al automatizar la derivación de formas variacionales complejas y acopladas por etapas, e integrarlas con resolvedores monolíticos escalables, Irksome permite a los investigadores explorar los beneficios teóricos de estos esquemas (como la conservación de invariantes no cuadráticos) en simulaciones de EDP prácticas y a gran escala. El artículo concluye que, si bien el software logra realizar con éxito estas propiedades de preservación de estructura en la práctica, aún quedan desafíos en el desarrollo de resolvedores lineales y no lineales aún más eficientes, específicamente adaptados a las estructuras de bloque únicas de estos esquemas de paso de tiempo.