Automated Galerkin time stepping in Irksome

Enunciado do Problema
A discretização de equações diferenciais parciais (EDPs) dependentes do tempo tem se baseado tradicionalmente em métodos de Runge–Kato (RK). Embora eficazes, esses métodos frequentemente lutam para preservar invariantes não quadráticos e leis de dissipação inerentes à integração numérica geométrica, particularmente para sistemas hamiltonianos e dissipativos. Embora esquemas de discretização de Galerkin no tempo (ou variacionais no tempo), como os métodos de Galerkin Descontínuo (DG) e Petrov–Galerkin Contínuo (CPG), ofereçam propriedades de preservação de estrutura superiores, sua adoção tem sido dificultada pela falta de um software de propósito geral. As implementações desses esquemas têm sido historicamente personalizadas, trabalhosas e limitadas a aplicações específicas, muitas vezes exigindo o "reaproveitamento" de ferramentas de discretização espacial que não foram projetadas para integração temporal. Além disso, os sistemas algébricos resultantes desses métodos são monolíticos, acoplando todos os graus de liberdade temporais dentro de um passo de tempo, o que complica a derivação de resíduos, Jacobianos e solvers eficientes.

Metodologia
Este trabalho estende a biblioteca Irksome, uma ferramenta de passo de tempo para o framework de elementos finitos Firedrake, para automatizar tanto o passo de tempo DG quanto o CPG para problemas variacionais semidiscretos. A metodologia central baseia-se na manipulação sintática da Linguagem Unificada de Forma (UFL).

1. Formulações Variacionais:

   • Esquemas DG: O método discretiza a derivada temporal e os termos de salto sobre um intervalo de tempo $I_n$ usando um espaço polinomial de grau $s$. Ele emprega uma forma "forte" derivada via integração por partes, lidando com descontinuidades nos passos de tempo através de termos de salto.
   • Esquemas CPG: Estes esquemas impõem continuidade da solução através dos passos de tempo e impõem fortemente os dados iniciais. As funções de teste são buscadas em um espaço descontínuo de grau inferior ($s-1$), permitindo que o método seja aplicado a formas semidiscretas gerais, incluindo aquelas sem derivadas temporais explícitas em todas as variáveis.
   • Variáveis Auxiliares: Para lidar com equações diferenciais-algébricas (DAEs) e formulações mistas (ex: Navier–Stokes incompressível), o framework introduz variáveis auxiliares (como a pressão) em espaços temporais descontínuos de grau $s-1$, distintos das variáveis primárias em espaços contínuos de grau $s$.

2. Estratégia de Automação:

   • O usuário fornece uma forma variacional semidiscreta em UFL. O Irksome constrói automaticamente as equações de estágio acopladas expandindo a solução e as funções de teste em bases temporais.
   • Pesos de quadratura são absorvidos nas funções de teste via linearidade para simplificar a manipulação da UFL.
   • O sistema é montado em um sistema algébrico estruturado em blocos onde os estágios temporais são acoplados, de forma semelhante aos métodos RK totalmente implícitos.
   • Condições de contorno fortes são tratadas via projeções $L^2$ no espaço temporal.

3. Solvers Algébricos:

   • O artigo utiliza a infraestrutura de solvers do Firedrake para aplicar métodos de multigrid monolíticos aos sistemas resultantes acoplados por estágios.
   • Utiliza esquemas de relaxação de Schwarz aditiva (especificamente decomposições do tipo Vanka) adaptados para as estruturas de blocos dos sistemas DG e CPG, permitindo soluções escaláveis de problemas de grande escala.

Principais Contribuições

• Primeiro Pacote de Propósito Geral: Este trabalho apresenta o primeiro pacote de propósito geral a suportar nativamente tanto o passo de tempo DG quanto o CPG com uma interface unificada.
• Integração Fluida: Os usuários podem alternar entre esquemas Runge–Kato, DG e CPG com mudanças mínimas no código (frequentemente uma única linha), mantendo a mesma interface de alto nível da UFL.
• Suporte para DAEs e Sistemas Mistos: A implementação suporta explicitamente variáveis auxiliares, permitindo a discretização de preservação de estrutura de sistemas complexos como fluxos incompressíveis e compressíveis, onde as variáveis possuem diferentes requisitos de continuidade no tempo.
• Quadratura Flexível: O framework permite uma quadratura temporal flexível, permitindo que o usuário escolha regras diferentes para diferentes termos para otimizar o custo ou preservar leis de conservação específicas.

Resultados Numéricos
O artigo valida a implementação através de quatro sistemas de EDPs representativos:

1. Equação de Gross–Pitaevskii (Sistema Hamiltoniano): Demonstra que os esquemas CPG conservam exatamente a energia (até a tolerância do solver), mas não a normalização da função de onda, enquanto os métodos RK de Gauss–Legendre implícitos conservam a normalização, mas não a energia.
2. Equação de Allen–Cahn (Sistema de Gradiente Descendente): Mostra que os esquemas CPG preservam a dissipação de energia incondicional. Os esquemas DG também exibem decaimento energético monotônico, embora a garantia teórica seja mais complexa.
3. Navier–Stokes Incompressível (Fluxo ao Redor de um Cilindro):
   • Valida a implementação contra dados de referência de arrasto e sustentação.
   • Destaca que tratar a pressão como uma variável auxiliar descontínua é crucial para a convergência CPG em sistemas DAE.
   • Identifica que o CPG padrão pode acumular erros de divergência; uma técnica de estabilização usando quadratura de direita-Radau para a restrição de incompressibilidade é proposta e mostra-se capaz de restaurar a convergência.
   • Comparações mostram que o DG geralmente produz erros menores para este problema específico, mas o CPG permanece competitivo com a estabilização apropriada.
4. Navier–Stokes–Fourier Compressível: Demonstra a preservação de massa, momento, energia e geração de entropia em um teste de perturbação supersônica, propriedades que os métodos RK tradicionais falham em manter.

Significância e Alegações
Os autores alegam que este trabalho remove a barreira de entrada para o uso de métodos de Galerkin no tempo de alta ordem e preservação de estrutura. Ao automatizar a derivação de formas variacionais complexas e acopladas por estágios e integrá-las com solvers monolíticos escaláveis, o Irksome permite que pesquisadores explorem os benefícios teóricos desses esquemas (como a conservação de invariantes não quadráticos) em simulações de EDPs práticas de grande escala. O artigo conclui que, embora o software realize com sucesso essas propriedades de preservação de estrutura na prática, permanecem desafios no desenvolvimento de solvers lineares e não lineares ainda mais eficientes, especificamente adaptados para as estruturas de blocos únicas desses esquemas de passo de tempo.