Average divisibility in character tables of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$

Resumen Técnico: Divisibilidad Promedio en las Tablas de Caracteres de $GL_2(\mathbb{F}_q)$

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga las propiedades aritméticas de las tablas de caracteres para la familia de grupos lineales generales finitos $G_q = GL_2(\mathbb{F}_q)$, donde $q$ varía sobre potencias de primos impares. Específicamente, los autores estudian la proporción de entradas en la tabla de caracteres que no son divisibles por un primo fijo $\ell$, considerando la divisibilidad dentro del anillo de los enteros algebraicos. Esta investigación está motivada por el trabajo reciente de Peluse y Soundararajan sobre la conjetura de Miller para los grupos simétricos $S_N$, el cual estableció que, a medida que $N \to \infty$, casi todas las entradas en la tabla de caracteres de $S_N$ son divisibles por cualquier primo fijo $\ell$. La cuestión central es si ocurre un fenómeno similar para $GL_2(\mathbb{F}_q)$ cuando $q \to \infty$, o si el comportamiento difiere significativamente. Además, el artículo aborda la distribución de los argumentos (ángulos) de los valores de los caracteres no nulos en el plano complejo.

Metodología
Los autores emplean un enfoque estructural basado en la clasificación de las representaciones complejas irreducibles y las clases de conjugación de $GL_2(\mathbb{F}_q)$.

1. Clasificación: Las representaciones irreducibles se categorizan en cuatro familias: unidimensionales, serie principal, giros de Steinberg y cuspidales. Del mismo modo, las clases de conjugación se dividen en cuatro familias: escalares, semisimples regulares partidas, elípticas y no semisimples (Jordan).
2. Descomposición en Bloques: La tabla de caracteres se analiza como una matriz de bloques de $4 \times 4$. Los autores observan que las filas correspondientes a las representaciones unidimensionales y de Steinberg, y las columnas correspondientes a las clases escalares y de Jordan, son "pequeñas" (tamaño $O(q)$), lo que contribuye con una densidad de cero al tamaño total de la tabla ($O(q^4)$).
3. Bloques Dominantes: El comportamiento asintótico está determinado por los dos grandes bloques donde los valores de los caracteres son generalmente no nulos:
   • Representaciones de la serie principal evaluadas en clases semisimples regulares partidas.
   • Representaciones cuspidales evaluadas en clases elípticas.
     Los otros dos grandes bloques (serie principal en clases elípticas, y cuspidales en clases semisimples regulares partidas) consisten enteramente en ceros.
4. Análisis de Divisibilidad: Para los bloques dominantes no nulos, los valores de los caracteres toman la forma de sumas de raíces de la unidad (por ejemplo, $\chi_1(a)\chi_2(b) + \chi_1(b)\chi_2(a)$). Los autores utilizan propiedades elementales de los polinomios ciclotómicos y las raíces de la unidad (específicamente el Lema 2.2 relativo a la divisibilidad de $1+\zeta$) para contar con qué frecuencia dichas sumas son divisibles por $\ell$. Demuestran que tal divisibilidad es un evento raro, que ocurre solo para un conjunto disperso de parámetros.
5. Distribución Angular: Para abordar la distribución de los argumentos, los autores aplican una variante del criterio de Weyl. Analizan las sumas exponenciales de los argumentos de los caracteres, utilizando la acción del grupo de caracteres de $\mathbb{F}_q^\times$ sobre el conjunto de representaciones para mostrar que las sumas se anulan asintóticamente, lo que implica la equidistribución.

Resultados Clave
El artículo establece los siguientes resultados cuantitativos y asintóticos:

1. Asintótica de Divisibilidad:
   Sea $N_\ell(q)$ el número de entradas en la tabla de caracteres de $G_q$ no divisibles por $\ell$, y sea $M_0(q)$ el número de entradas cero. El número total de entradas es $(q^2-1)^2$. Los autores prueban:
   $$N_\ell(q) = \frac{q^4}{2} + O_\epsilon(q^{3+\epsilon})$$
   $$M_0(q) = \frac{q^4}{2} + O_\epsilon(q^{3+\epsilon})$$
   Consecuentemente, la proporción de todas las entradas no divisibles por $\ell$ tiende a $1/2$:
   $$\lim_{q \to \infty} \frac{N_\ell(q)}{(q^2-1)^2} = \frac{1}{2}$$
   Además, la proporción de entradas no nulas no divisibles por $\ell$ tiende a 1:
   $$\lim_{q \to \infty} \frac{N_\ell(q)}{(q^2-1)^2 - M_0(q)} = 1$$
   Este resultado se mantiene para cualquier potencia de primo $\ell^r$ fija también.

2. Equidistribución Angular:
   Sea $P_q(I)$ la proporción de valores de caracteres no nulos cuyos argumentos yacen en un intervalo $I \subseteq [0, 2\pi]$. Los autores prueban que, a medida que $q \to \infty$, estos argumentos se vuelven equidistribuidos:
   $$\lim_{q \to \infty} P_q(I) = \frac{b-a}{2\pi}$$
   para cualquier intervalo $I = [a, b]$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma demostrar una divergencia fundamental entre las estadísticas aritméticas de las tablas de caracteres de los grupos simétricos ($S_N$) y los grupos lineales generales ($GL_2(\mathbb{F}_q)$).

• Contraste con los Grupos Simétricos: Mientras que casi todas las entradas en la tabla de caracteres de $S_N$ son divisibles por un primo fijo $\ell$ cuando $N \to \infty$, el límite para $GL_2(\mathbb{F}_q)$ es exactamente $1/2$. Los autores atribuyen esta diferencia al hecho de que las entradas "divisibles" son predominantemente las entradas cero, mientras que las entradas no nulas casi nunca son divisibles por $\ell$.
• Análogo de la Pregunta de Miller: El resultado de la equidistribución angular se presenta como un análogo a la pregunta de Miller sobre la distribución de los signos (positivo vs. negativo) entre las entradas no nulas en las tablas de caracteres de los grupos simétricos. Dado que los valores de los caracteres para $GL_2(\mathbb{F}_q)$ son generalmente complejos, la pregunta del "signo" es reemplazada por una pregunta de distribución angular, la cual los autores resuelven afirmativamente.
• Distinción Metodológica: Los autores señalan que su prueba depende de la clasificación explícita de las representaciones y las clases de conjugación para $GL_2(\mathbb{F}_q)$, diferenciándose de los métodos combinatorios de partición utilizados en el estudio de los grupos simétricos.

El artículo concluye planteando preguntas abiertas respecto a la extensión de estos resultados a $GL_n(\mathbb{F}_q)$ para un $n$ fijo con $q \to \infty$, y para un $q$ fijo con $n \to \infty$, así como para otras familias de grupos de tipo Lie.