Average divisibility in character tables of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$

Résumé technique : Divisibilité moyenne dans les tables de caractères de $GL_2(\mathbb{F}_q)$

Énoncé du problème
Cet article étudie les propriétés arithmétiques des tables de caractères pour la famille des groupes linéaires généraux finis $G_q = GL_2(\mathbb{F}_q)$, où $q$ varie sur les puissances de nombres premiers impairs. Plus précisément, les auteurs étudient la proportion d'entrées dans la table de caractères qui ne sont pas divisibles par un nombre premier $\ell$ fixé, en considérant la divisibilité au sein de l'anneau des entiers algébriques. Cette enquête est motivée par les travaux récents de Peluse et Soundararajan sur la conjecture de Miller pour les groupes symétriques $S_N$, qui ont établi que lorsque $N \to \infty$, presque chaque entrée dans la table de caractères de $S_N$ est divisible par n'importe quel nombre premier $\ell$ fixé. La question centrale est de savoir si un phénomène similaire se produit pour $GL_2(\mathbb{F}_q)$ lorsque $q \to \infty$, ou si le comportement diffère significativement. De plus, l'article traite de la distribution des arguments (angles) des valeurs de caractères non nulles dans le plan complexe.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche structurelle basée sur la classification des représentations complexes irréductibles et des classes de conjugaison de $GL_2(\mathbb{F}_q)$.

1. Classification : Les représentations irréductibles sont catégorisées en quatre familles : unidimensionnelles, séries principales, torsions de Steinberg et cuspidales. De même, les classes de conjugaison sont divisées en quatre familles : scalaires, régulières semi-simples scindées, elliptiques et non semi-simples (Jordan).
2. Décomposition en blocs : La table de caractères est analysée comme une matrice par blocs $4 \times 4$. Les auteurs observent que les lignes correspondant aux représentations unidimensionnelles et de Steinberg, ainsi que les colonnes correspondant aux classes scalaires et de Jordan, sont « petites » (taille $O(q)$), contribuant une densité nulle à la taille totale de la table ($O(q^4)$).
3. Blocs dominants : Le comportement asymptotique est déterminé par les deux grands blocs où les valeurs des caractères sont généralement non nulles :
   • Les représentations de la série principale évaluées sur les classes régulières semi-simples scindées.
   • Les représentations cuspidales évaluées sur les classes elliptiques.
     Les deux autres grands blocs (série principale sur les classes elliptiques, et cuspidales sur les classes régulières semi-simples scindées) consistent entièrement en des zéros.
4. Analyse de la divisibilité : Pour les blocs non nuls dominants, les valeurs des caractères prennent la forme de sommes de racines de l'unité (par exemple, $\chi_1(a)\chi_2(b) + \chi_1(b)\chi_2(a)$). Les auteurs utilisent les propriétés élémentaires des polynômes cyclotomiques et des racines de l'unité (spécifiquement le Lemme 2.2 concernant la divisibilité de $1+\zeta$) pour compter à quelle fréquence ces sommes sont divisibles par $\ell$. Ils montrent que cette divisibilité est un événement rare, ne se produisant que pour un ensemble épars de paramètres.
5. Distribution angulaire : Pour traiter de la distribution des arguments, les auteurs appliquent une variante du critère de Weyl. Ils analysent les sommes exponentielles des arguments des caractères, utilisant l'action du groupe des caractères de $\mathbb{F}_q^\times$ sur l'ensemble des représentations pour montrer que les sommes tendent vers zéro, impliquant une équidistribution.

Résultats clés
L'article établit les résultats quantitatifs et asymptotiques suivants :

1. Asymptotique de la divisibilité :
   Soit $N_\ell(q)$ le nombre d'entrées dans la table de caractères de $G_q$ non divisibles par $\ell$, et soit $M_0(q)$ le nombre d'entrées nulles. Le nombre total d'entrées est $(q^2-1)^2$. Les auteurs prouvent :
   $$N_\ell(q) = \frac{q^4}{2} + O_\epsilon(q^{3+\epsilon})$$
   $$M_0(q) = \frac{q^4}{2} + O_\epsilon(q^{3+\epsilon})$$
   Par conséquent, la proportion de toutes les entrées non divisibles par $\ell$ tend vers $1/2$ :
   $$\lim_{q \to \infty} \frac{N_\ell(q)}{(q^2-1)^2} = \frac{1}{2}$$
   De plus, la proportion d'entrées non nulles non divisibles par $\ell$ tend vers 1 :
   $$\lim_{q \to \infty} \frac{N_\ell(q)}{(q^2-1)^2 - M_0(q)} = 1$$
   Ce résultat est valable pour toute puissance de nombre premier $\ell^r$ fixée également.

2. Équidistribution angulaire :
   Soit $P_q(I)$ la proportion des valeurs de caractères non nulles dont les arguments se situent dans un intervalle $I \subseteq [0, 2\pi]$. Les auteurs prouvent que lorsque $q \to \infty$, ces arguments deviennent équidistribués :
   $$\lim_{q \to \infty} P_q(I) = \frac{b-a}{2\pi}$$
   pour tout intervalle $I = [a, b]$.

Signification et affirmations
L'article affirme démontrer une divergence fondamentale entre les statistiques arithmétiques des tables de caractères des groupes symétriques ($S_N$) et des groupes linéaires généraux ($GL_2(\mathbb{F}_q)$).

• Contraste avec les groupes symétriques : Alors que presque chaque entrée dans la table de caractères de $S_N$ est divisible par un nombre premier $\ell$ fixé lorsque $N \to \infty$, la limite pour $GL_2(\mathbb{F}_q)$ est exactement $1/2$. Les auteurs attribuent cette différence au fait que pour $GL_2(\mathbb{F}_q)$, les entrées « divisibles » sont principalement les entrées nulles, tandis que les entrées non nulles ne sont presque jamais divisibles par $\ell$.
• Analogue de la question de Miller : Le résultat d'équidistribution angulaire est présenté comme un analogue de la question de Miller concernant la distribution des signes (positif vs négatif) parmi les entrées non nulles dans les tables de caractères des groupes symétriques. Puisque les valeurs des caractères pour $GL_2(\mathbb{F}_q)$ sont généralement complexes, la question du « signe » est remplacée par une question de distribution angulaire, que les auteurs résolvent de manière affirmative.
• Distinction méthodologique : Les auteurs notent que leur preuve repose sur la classification explicite des représentations et des classes de conjugaison pour $GL_2(\mathbb{F}_q)$, différant des méthodes de partitions combinatoires utilisées dans l'étude des groupes symétriques.

L'article conclut en posant des questions ouvertes concernant l'extension de ces résultats à $GL_n(\mathbb{F}_q)$ pour un $n$ fixé avec $q \to \infty$, et pour un $q$ fixé avec $n \to \infty$, ainsi qu'à d'autres familles de groupes de Lie finis.